1 : ) MATEMATİĞİN TARİHİ NEDİR...? / 03-03-2012

 

 

MATEMATİĞİN

TARİHÇESİ

 

Matematiğin Tarihçesi

Matematik biliminin,

M.Ö. 600 yıllarına doğru Yunanistan’da doğduğu söylenir;

ancak bu iddia tamamıyla doğru değildir.

En son araştırmalar, matematik kültürünün yeşerdiği merkezlerin,

bu tarihten çok daha önce birbirinden ayrı bölgelerde var olduğunu ortaya koymuştur.

En eski kültür merkezlerinin,

Ortadoğu’dakiler olduğu sanılır;

Yunanlılar,

bu kültür merkezlerinin matematik bilgisinden kendi geleneklerine göre,

hiç olmazsa kısmen, yararlandılar.

Diğer küçük merkezler ise, matematiğin ilerlemesine katkıda bulunamadan birer birer söndüler.

KOLOMB ÖNCESİ MATEMATİK

İnka medeniyetinin matematik bilgilerini de kapsaması gerekir; elde hiç yazılı metin bulunmadığı için bu bilgiler yenilenememiştir.

Eski yazı bilginleri tarafından okunabilen bir yazı kültürüne (elyazmaları ve anıtlar üzerindeki piktografi ve hiyeroglif yazılar) sahip Mayalar ve onların kültürünü sürdüren Aztekler üstüne daha çok bilgi edinilmiştir; bu halkların özellikle zaman hesabı, takvim problemi ve astronomi olaylarını önceden bilme konusunda uğraştığı sanılır.

Takvimlerinin başlangıcı M.Ö. 3113 yılının 12 ağustosuydu. Bazı yazıtlarda, gerçek güneş yılı ile 365 günlük âdi yıl arasındaki farkın şaşılacak bir kesinlikle hesaplandığı görülür. Bu bilim, 20 tabanlı bir sayılama sistemi üzerine kurulmuş bir aritmetik âletinin hassas çalışmasıyla daha da güçlenmiştir. Demek ki bütün bilgiler, Mayalar’da, eski ve köklü bir medeniyet çerçevesi içinde ilgi çekici bir matematik çalışmasının var olduğunu ortaya koyar; ancak bu bilgilerin neden böyle birden sönüp gittiği bilinmez.

ÇİN

MATEMATİĞİ

Tamamıyla Çinlilere ait bir matematik kültüründen en küçük bir iz bile kalmamıştır. Bu matematik kültürü ancak yakın zamanda, eski yazıtlar, elyazmaları ve basılı kitapların yardımıyla gün ışığına çıkmıştır. Çinlilerin ilk matematik bilgileri çok eski tarihlere kadar uzanır. M.Ö. XIII. yy.dan beri Çinlilerin, bugün kullandığımız sisteme oldukça benzeyen bir ondalık sayılama sistemi vardı.

Çok erken kurulmuş olan Çin matematiğinin, hareketli bir tarih evrimi boyunca düzenli olarak gelişmiş olması gerekir. Yunan, Arap ve batı matematikleri ile Çin matematiği arasında da bir paralellik dikkati çeker.

M.Ö. III. yy.da Çinliler Pythagoras teoreminin ispatını yapmışlar, pi’nin yaklaşık değerini hesaplamışlar ve kareli aritmetik tablosu üzerinde 1. dereceden denklemleri çözmüşlerdir. Bununla birlikte, sıfır sayısı, ancak M. S. VIII. yy.da kullanılmaya başlanmıştır. XII. ve XIII. yy.da Çin cebiri çok büyük bir gelişme gösterdi. Fakat Mançurya’nın fethinden sonra araştırma ruhu kayboldu ve matematik çalışmaları birkaç basit uygulamadan öteye gidemedi.

Çin matematiğinin gelişimi kendiliğinden mi durakladı? Bu soru cevapsız kalıyor. Bununla birlikte, XV. yy.dan beri Batı’daki olağanüstü matematik gelişmeleri üzerinde Çin’in bir etkisi olduğunu gösteren hiç bir kaynak yoktur.

YUNAN

ÖNCESİ

MATEMATİK

Biri Mısır, öbürü Sümer-Babil kültürü olmak üzere çok eski iki matematik kültür merkezi yunan matematiğini etkilemiştir. Mısırlıların matematik kültürü üstüne bütün bilgiler, az sayıdaki papirusların okunmasıyla sağlanabilmiştir. En eski papirüs “büyük Moskova papirusu”dur. Bu kaynakta, kürenin hacmini hesaplama kuralı gibi, M.Ö. 2000 yıllarına kadar uzanan yoğun bir matematik çalışmasını ispatlayan bazı kuralların bulunması şaşırtıcıdır.

Buna karşılık, daha sonraki papiruslarda sadece birkaç pratik hesap ve ölçü yönteminin bulunması, matematiğin ilerleyecek yerde gerilediğini gösterir. Yunanlıların Mısır ile ilişki kurduğu devrede, mısır matematiğinin uzun zamandır böyle bir gerileme devresine girmiş olması gerekir.

Sümer-Babil kültür merkezi üstüne bilinenler, yakın zamanda yapılan kazılarla büyük bir kısmı gün ışığına çıkarılan toprak tabletler üzerindeki çivi yazısının okunmasına dayanır. Bu yazıtlardan bazıları, yine M. Ö. 2000 yılından daha öncelere kadar uzanan bir çağda, geometri ve astronomi problemlerine yönelmiş ilgi çekici bir matematik biliminin varlığını ispatlar.

Meselâ, Babilliler ikinci dereceden ve bazı üçüncü dereceden denklemlerin çözümüyle ilgili hesap yöntemlerini geliştirmişlerdir. Yunanlılar Babillilerle ilişki kurduğu zaman, bu matematik kültürü de gerileme devresinde miydi? Bazı bilginler bu düşüncededir. O sıralar Babil matematikçileri, 10 tabanlı bir sayılama sistemiyle birlikte kullanılan 60 tabanlı bir sistemden yararlanarak, Güneş ve Ay tutulmalarının olacağı tarihleri hesaplayabiliyorlardı.

Yunan matematiğini etkileyen Sümer-Babil kültür merkezine Fenikelileri de katmak gerekir; çünkü Yunanlıların sayılama sistemi Fenikelilerden gelir.

YUNAN

MATEMATİĞİ

Efsaneye göre, yunan matematikçilerinin çoğu uzun süre Mısır ve Mezopotamya’da oturmuşlardır. Yine de bu bilginler yunan matematiğini, kökünden değişmiş rasyonel bir bilim, yani tamamıyla tümdengelimli akıl yürütme yoluyla açık gerçekler üzerine oturtulmuş bir bilim halinde kurmayı başardılar.

İonia okulu, M.Ö. 600 yılına doğru Miletos’lu Thales ile (bazı temel geometri teoremleri onun adını taşır), bu yolu açtı. Pythagoras tarafından VI. yy.ın ortalarına doğru kurulan Pythagoras veya İtalya okulu bir müritler topluluğuydu. Bu okulun, Taranto körfezindeki Crotone merkez enstitüsü, siyasi-dini sebeplerle V. yy. başlarında kapatıldı. Yine de bu tarikat, önce Yunanistan’da, sonra İskenderiye’de daha uzun süre yaşadı.

Pythagoras’çılar, 150 yıl içinde dört matematik kolundan (aritmetik, müzik veya müzik aralıkları aritmetiği, düzlem geometri, astronomi veya küresel geometri) ilk grubu düzenlediler. Okul, tamamıyla sayı kavramı üstüne kurulmuş bir matematik öğretisinin tohumlarını atıyordu.

Bazı Pythagoras’çılara göre, her şeyin ayrı bir sayısı vardı ve bu sayıyı bilmeden o şey ne tanınabilir, ne de anlaşılabilirdi. Bu doktrine göre, her çeşit büyüklük arasındaki oranlar tamsayıların oranından başka bir şey olamazdı. Elea okulu bu görüşlere karşı çıktı ve tenkitleri sonradan Parmenides ve Zenon paradoksları olarak ün yaptı. Karenin köşegeni ile kenarı arasındaki oran gibi ortakölçülemez oranların bulunması, Pythagoras okuluna kesin bir darbe indirdi.

IV. yy., felsefe ve bilim açısından bir dönüm noktasıdır. Ortakölçülemez sayıların varlığından doğan güçlükler, Eudoksos’un, bir kesinlik örneği olarak günümüze kadar gelen ünlü orantılar teorisiyle yenildi. Böylece Pythagoras’çıların öğretisi ve garip sayı inanışları aşıldı ve yerini eflatun’cu matematik görüşü ile fikir öğretisine bıraktı.

III. yy. başında İskenderiye’de yazılan Eukleides’in Elemanlar’ı, bir önceki yüzyılda kaydedilen gelişmeleri tamamlayan bir eser oldu. M. ö. 331 yılında kurulan İskenderiye, kısa sürede yunan kültürünün merkezi haline geldi. Eukleides’ten Diophantos, Pappos ve Proklos’a kadar, yunan matematik bilimlerinde isim ve yer yapmış bilginlerin hemen hepsi İskenderiye’de barınabildi.

Elemanlar’ın matematik alanında önemi çok büyük oldu. Bu eser, aksiyomatik metot yardımıyla gerçek bilginin tüzüğünü kurarak bu ideali uzun süre yaşattı. Eukleides metodu her şeyden önce, büyüklüklerin, aşağıdakine benzer aksiyomlar üzerine kurulmuş genel bir teorisini kapsar: “Aynı büyüklüğe eşit iki büyüklük birbirine eşittir.” Geometrinin kuruluşuna ayrıca birçok postulatın da katkısı oldu; bunlardan en ünlüsü “paraleller postulatı” veya “Eukleides postulatı”‘dır.

Aksiyomlar ve postulatların en büyük özelliği, ilk bakışta kabul edilecek kadar açık olmalarıdır. Aralarındaki fark, aksiyomların genel, postulatların geometrik gerçekler olmasıdır. Elemanlar, geometri gibi bir bilimin, tamamen tümdengelimli yolla, yani hepsi birbirinden türeyen tanımlar ve ispatlar bütünü halinde, aksiyomlar ve postulatlar temeli üzerine kurulabileceğini ispatladı.

Kuruluş yöntemi belirlenmişti ama, çoğu geometrinin temel taşları olan daha birçok noktanın keşfedilmesi gerekiyordu. Yunanlıların geometri araştırmaları, Apollonios ve Arkhimedes sayesinde en büyük başarıyı yine III. yy.da gösterdi. Apollonios, konikler üzerine büyük bir inceleme kitabı yazdı ve tahminen episikloitleri inceledi, İskenderiye döneminin birinci yüzyılını parlak ve başarılı bir devir haline getiren Apollonios ile Eukleides oldu. Fakat, Eskiçağın en büyük matematik dehası, hiç şüphesiz Syrakusai’li Arkhimedes’tir.

Ardışık yaklaştırmalarla pi’nin hesaplanması, küre ve silindirin hacim hesapları, parabol parçasının kareleştirilmesi, statik momentlerin ve ağırlık merkezlerinin kullanılması v.b. gibi çalışmalarıyla, mekanik ve integral hesaba giden yolları açtı. Bir bilgi metodu olması bakımından, Arkhimedes metodu Eflatun’cu doktrin ile uyuşamıyordu.

Arkhimedes’in metodu, doğru uygulama tasası ile tam bir kesinliğin araştırılmasını bağdaştırıyordu Bu iki yönlü özellik, bir yandan, hâlâ günümüzde “Arkhimedes ilkesi” diye bilinen hidrostatik ilkesinde, öte yandan da, Eudoksos’a ait tüketme ilkesinin alanlar ve hacimler hesabında tam bir titizlik ve kesinlikle uygulanmasında görülür. Oysa, eflatun’cu ülkü, akıl gerçeklerinin temaşasına dayanır ve teknik uygulamalardan kaçınırdı. Bu bakımdan Arkhimedes biliminin modern bilime özgü bilgi tipine yöneldiği söylenir.

Aynı özelliği, Arkhimedes’in yakından tanıdığı İskenderiye biliminde de buluruz: M.Ö. II. yy.da, astronom Hipparkhos’un düzlemsel ve küresel trigonometrisi ve M.S. I. yy.da fizikçi Heron’un geometri araştırmaları. İskenderiye’li bilginlerin yolunda daha birçok kimsenin de yürüdüğünü belirtmek için, M.S. I. yy.da Nikomakhos ve Menelaos’u, Ptolemaios ve ünlü dünya sistemini, daha sonraki yüzyılda, yani III. yy.da Diophantos’un aritmetik araştırmalarını ve Pappos’un anarmonik bağıntıları üzerindeki incelemelerini ve nihayet V. yy.da Proklos’un Eukleides’in birinci kitabı üstündeki Yorumlar’ını sayabiliriz. Bu devirden sonra gerilemeye başlayan yunan bilimi yavaş yavaş tam bir fikir keşmekeşine düştü.

Arkhimedes ve İskenderiye’li matematikçilerin Eflatun doktrininden uzaklaştıklarını daha evvel söylemiştik. Stoacılarla felsefe de kendi yoluna girmişti. III. yy.ın ortalarına doğru, yeni Eflatun’cu İskenderiye felsefe okulunun kurulmasıyla bu iki dal arasında suni bir yaklaşma meydana gelmiştir.

Paganların bilimsel katkılarına karşı cephe almasıyla tanınan, Hıristiyanlığın görüşlerini benimsemek istemeyen bu okul birçok bilgini, bu arada da en ünlüsü Proklos olan birçok matematikçiyi kendi kadrosuna almıştı. Fakat, okulun felsefi seviyesi yavaş yavaş düşmeye başlayınca, bilginler ciddi araştırmaları bırakıp ilminücûma, tasavvufa, hattâ kabala’ya kaymaya başladılar. Bu bakımdan, çevrelerinde bir çeşit korku ve tiksinti uyandıran matematikçiler sık sık da zulme uğrar oldular. 529’da imparator İustinianos, o sıralarda Atina’ya nakledilen okulun kapatılmasını emretti; fakat, İskenderiye mirasının hiç değilse bir kısmından Bizans yararlanabildi.

Batı imparatorluğunda yunan kültürünün izleri yavaş yavaş kayboluyordu. Romalıların matematik merakı ise, yer ölçümünden öteye gitmiyordu. Hiç bir gerçek etkisi olmayan bölük börçük birkaç deneme dışında, eski yunanlı matematikçilerin orijinal eserleri latinceye çevrilmemişti. VI. yy.ın başında, gerçek bilimden ortada hiç bir iz yoktu. Denildiğine göre, o devirde, eski çağın son yıllarında yetişmiş derleyicilerin en çalışkanlarından biri olan Kassiodorus’un başkanlığında, ilk defa olarak Vivarium (Bruttium) manastırının keşişleri eski elyazmalarını istinsah ederek Rönesans’a götürecek olan yollardan birini hazırlamaya başladılar.

Eski Yunanlıların (ve bu arada da Hintlilerin) bilimsel mirasına konanlar, Hıristiyanlar değil Arap dünyası oldu.

HİNT  

MATEMATİĞİ

Her ne kadar, bazı söylentilere dayanarak Veda (M.Ö. 1500 ile 1000 arası) ve Brahma (M.Ö. V. yy.) devirlerinde Hindistan’da matematiğin belli bir seviyeye ulaştığını söyleyebilirsek de Hint matematiği olgunluk çağına ancak klasik devirde (M.S. I. yy. ile VIII. yy. arası) ulaşmıştır. Zaten bu devirden hemen önce Yunan dünyasıyla ilişkiler başlamıştı.

İskender’in ilerlemesi IV. yy.da İndus ırmağı üzerinde durdu. Öte yandan, Buddha’cılığın Çin’de yayılması ve Arap dünyasının gittikçe gelişmesi dış ile ilişki noktalarını çoğaltmıştı. Fakat şunu da belirtelim ki Hint matematiği tümdengelim metodundan çok sayı hesabına dayanan, kendine özgü bir çığırda gelişti. Dokuz rakam ile sıfırın kullanılmasına dayanan ondalık sayılama sistemini medeniyetimiz onlara borçludur.

Eski Yunanlılar bu sistemi bilmezlerdi. Çok daha sonraları, Araplar aracılığıyla Batı’ya ulaştırıldı. Bu sistemin uygulama ve teori alanlarında sağladığı sayısız kolaylıklar, matematiğin daha sonraki gelişmesini temelden etkilemiştir.

Bu sayılama sistemine, ilk olarak M.S. VI. yy.da yazılan ve Suryasiddhanta diye bilinen küçük bir inceleme kitabında rastlıyoruz. Fakat Hintlilerin matematik üstündeki çalışmaları genellikle astronomi eserlerinde yer alır. Meselâ, 476’da doğan Aryabatha ve 598 doğumlu Brahmagupta birer astronomdu; çok daha sonraları 1150’ye doğru Bhaskara kare köklerin nasıl hesaplanacağını gösteren bir aritmetik kitabı yazdı; bu, aslında birinci ve ikinci dereceden denklemlerin teorisidir; fakat, Yunanlılarda olduğu gibi geometrik bir biçimde ortaya konmuştur.

Hint matematiğinin işlemsel özelliği bir genel sayı anlayışından ayrılamaz; bu anlayış orandışı meselesine yabancı kalmakla beraber kendiliğinden negatif sayılara götüren bir yoldu ve bu sayede de bir kare kökün iki işaretini, ikinci dereceden bir denklemin iki çözümünü göz önünde bulundurmaya imkân veriyordu; bu şekilde ortaya çıkan formel (biçimsel) cebir daha sonra Araplar tarafından işlenmeye başladı.

ARAP

MATEMATİĞİ

Araplar, akıl almaz bir hızla Akdeniz’in ve eski İran’ın güney kıyılarından Pirene’lere kadar uzanan toprakları İslamlaştırmışlardı. Daha 642’de İskenderiye’yi işgal ettiler. Bu durumda, yunan kültüründen hiç bir iz kalmaması akla gelebilirdi. Oysa tam tersine, Yunanlıların bilimsel mirası hem zenginleşti, hem de değerlendirildi.

Yeni Eflatun’cu okul kapanınca, üyelerinden birçoğu eski İran’a göçmüştü. Bizans Ortodoksluğunun afaroz ettiği Nasturiler de aynı yola koyulmuş, ta Çin’e, Hind’e kadar uzanmışlardı. 762’de II. halife El-Mansur Bağdat’a yerleşti. İskenderiye biliminden arta kalanları toparladı ve Bağdat’ı büyük bir bilim merkezi haline getirdi.

832’de halife El-Memun, Arap matematiğinin en ünlü ilk merkezlerinden biri olan ve bir çeşit bilim akademisi diyebileceğimiz Beytül-Hikme’yi de Bağdat’ta kurdu. Burada eski Yunanlıların tüm bilimsel eserleri Arapçaya çevrildi, incelendi ve hattâ hatmedildi. Kendi yaratıcı güçlerini İskenderiye okulunun çizdiği yolda geliştiren Araplar haklı olarak kendilerini Yunanlıların vârisleri sayıyorlardı. Fakat çok geçmeden Hint astronomlarının eserlerini de Arapçaya çevirdikleri gibi, Hint hesabının değerini ve uygulamada sağladığı kolaylıkları kavramakta gecikmediler.

Bağdat’daki bu bilim merkezinin faaliyeti, Moğol hâkimiyeti sırasında da devam etti ve ta Semerkant’a kadar etkisini duyurdu. Fakat Arap bilim ve matematiğinin bütün batı dünyasında, özellikle de İtalya’ya yayılması ve matematik biliminin bugünkü büyük hamlesine yol açması İspanya, Sevilla. Gırnata ve Kurtuba aracılığıyla oldu.

Eski Yunanlıların da, Hintlilerin de bilimsel katkılarında ayrı ayrı özellikler vardı. Araplar için de aynı şeyi söyleyebilir miyiz? Arapların en büyük özelliği bu etkilerin her ikisine de açık olmaları ve yeni bir hamleyi mümkün kılacak sentezi başarmalarıdır.

Bağdat okulunun seçkin astronom ve matematikçileri arasında en önemlilerini şöyle sıralayabiliriz: halife El-Memun tarafından bir derecelik meridyen yayını ölçmekle görevlendirilen ve haklı olarak cebirin kurucusu sayılan El-Harizmi (847’ye doğr.); Eukleides ve Diophantes’in yorumcusu ve trigonometrinin öncülerinden Ebül Vefa (X. yy. sonu); Eukleides’in önermeleri üstündeki tartışmaları XVIII. yy.da P. Saccheri tarafından değerlendirilecek olan Nasreddin-el-Tusi (1201-1274). Bu arada İspanya’da yetişen El-Kırmani ve İbn-ül-Şaffar’ı (XI. yy. başı) ve Kurtuba’li astronom El-Zarhali’yi de (XI. yy. sonu) sayabiliriz. Fakat Moğol istilâsı (Hulâgu Han 1258’de Bağdat’ı işgal etmişti), Magrıplıların İspanya’ya sürülmesi ve nihayet türk hâkimiyeti Arap bilimi üstünde olumsuz bir etki yaptı ve XIV. yy.dan itibaren orijinal çalışmalar kalmadı.

BİZANS

MATEMATİĞİ

İustinianos’un Atina okuluna karşı aldığı tedbirlere ve dini Ortodoksluğun bütün ağırlığına rağmen Doğu Roma imparatorluğunda XVI. yy.a kadar bir bilim ve matematik geleneği sürdü. İlk Bizans üniversitesi 330 yılında Konstantinos tarafından kuruldu. Daha sonraları kilise her türlü bilimsel çalışmaya karşı çıktı; fakat, Paleologos’lar zamanında, IV. Haçlı seferinin (1204-1261) kurduğu Latin imparatorluğunun çökmesinden sonra, Arapların etkisiyle matematik ve astronomi yeniden doğdu.

Ne var ki, bu akıma katılanlar birer gerçek bilgin olmaktan çok Gregoras (XIV. yy.) gibi derleyici’lerdi. Bizanslıların en büyük başarısı yunan ve doğu eserlerini korumuş olmaları ve 1453’ten sonra, yani İstanbul Türkler tarafından fethedildikten sonra bu eserleri İtalya’ya götürmeleridir.

 

MATEMATİĞİN

GELİŞMESİ

 

Batı Hıristiyan dünyasında matematik çalışmaları ancak Gerbert d’Aurillac (960-1003) [Silvester II adiyle papa olmuştur] zamanında başlayabildi. Fakat Gerbert’in ve çömezlerinin eserleri, ancak matematik bilgisinin hangi seviyede kaldığı hakkında bizi aydınlatmaları bakımından önemlidir. Bu çalışmaların aritmetikle ilgili bölümü (bütün maksat çörküler üstünde yapılan işlemleri doğrudan doğruya yazılı rakamlarla yapmaktı), Gerbert’in İspanyol Araplarından öğrendiği Arap matematiğinin etkisini taşır.

Bu çalışmaların geometriyle ilgili bölümü ise, seviye bakımından, Eukleides’in Elemanlar’ından çok uzaktır. Geometrik özellikler hâlâ birbirinden ayrı, aralarında bir mantık bağı bulunmayan ve deneylemeyle doğrulanan gerçeklerdir. Demek ki geometriyi tümdengelimli bir sistem olarak gören yunan geometrisinin ana fikri henüz ortaya çıkarılmış ve değerlendirilmiş değildir.

Arap bilimlerinin, özellikle de Arap matematiğinin Batı’ya sızması ve bunun üzerine de Batı’da yunan kültürüne karşı büyük bir ilginin uyanması arasındaki çelişmeyi veya tutarsızlığı nasıl açıklayabiliriz? Buna ille de bir izah bulmak gerekirse, pek tabiidir ki ticaret ilişkileri, Roma ile Bizans, Haçlı seferleriyle Latin imparatoru arasındaki bağıntılar, İstanbul’un Türkler tarafından fethi üzerine değerli malları ile elyazmalarını yanlarına alan yüksek görevlilerin Batı’ya sığınması, Magrıplıların boşalttıkları bölgelerde kalan Yahudi bilginlerin etkisi v.b. ileri sürülebilir. Fakat olayı gereğince anlayabilmek için bu dış şartlar da yeterli değildir.

Eninde sonunda birtakım kişisel teşebbüsleri hesaba katmak zorundayız. Buna örnek olarak Pisa’lı Leonardo’nun bilgisini artırmak için Akdeniz’i dolaşmasını gösterebiliriz. Liber abbaci (1202) ve Practica Geometriae (Pratik Geometri) [1220] gibi kitapları, bilgisi ve ele aldığı konulara ne kadar hâkim olduğunun delilidir.

Guillaume de Moerbeke’in Arkhimedes’in eserini Latinceye çevirmesi de bu döneme rastlar (1269). Arap biliminin iyice zihinlere yerleşmesi ve yayılması (bunda yüksek ruhban sınıfının büyük payı olmuştur) yüzyıllar boyunca sürdü. Yeni yeni kurulmaya başlayan cebir ve analiz alanlarında da kavramların ve işaretlemelerin kesin bir şekle varması da çok uzun zaman aldı ve birçok bocalamaya yol açtı.

Meselâ, Paris okulunun ortaya attığı birçok yeni görüş (özellikle sonsuz ile ilgili olanlar), önceleri herhangi bir kullanım alanı bulunamadan kaldı ve ancak çok daha sonraları verimli bir şekilde değerlendirildi. Luca Pacioli’nin, gerçekten “yayıcı” diyebileceğimiz ve bir yüzyıl sonraki büyük cebircilerin başucu kitabı haline gelen eseri ancak 1494’te basılabildi (Venedik).

Çoğu Bologna okulundan olan Scipione dal Ferro, Niccolo Tartaglia, Gerolamo Çardano, Ludovico Ferrari ve Raffaele Bombelli gibi İtalyan cebircileri ile matematik bilimi gerçekten yepyeni bir gelişme düzeyine girdi. Kavramlarda açıklık, işlemlere hâkimiyet gibi konularda öyle bir olgunluk derecesine varılmıştı ki bir cebirsel denklemin çözümü meselesi artık olanca genelliğiyle ortaya konabilirdi.

Şimdi, herkesin de bildiği gibi, tam bir şekilde ortaya konulabilen büyük bir problem, o problemi çözmek, aydınlatmak ve doğurabileceği sonuçları çıkarmak için gerekli yolların bulunmasına elverişli ipuçlarını da bize verebilir. Sözünü ettiğimiz cebirciler üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri başarıyla çözdüler; bu denklemlerin katsayılarından hareket ederek köklerini belirlemek için bildiğimiz aritmetik işlemlerin yanı sıra sadece kök almaya dayanan formüllere başvurdular. Bu başarı ortaya yeni yeni meseleler çıkardı, bunlardan ikisi, araştırmalarda büyük bir gelişme sağlamaları bakımından burada anılmaya değer:

1. beşinci dereceden denklem (ve onunla beraber daha yüksek dereceden denklemler) aynı yollardan çözülebilir mi?

2. Cartan’ın formülündeki indirgenemez şıkka (üçüncü dereceden denklemler için) göre kullanmak zorunda olduğumuz negatif sayıların (sanal nicelikler) kare köklerine nasıl yer verebiliriz?

Bu iki soru matematik araştırmalarının günümüze kadar gelişmesi, yayılması ve dallanması hakkında bilgi veren iki örnektir. Bu sorulardan ilki daha sonraları hemen hemen bütün büyük cebirci ve analizciyi, özellikle de Euler (1707-1783) ve Lagrange’ı (1736-1813) uğraştırdı. Yeni yeni birçok buluşa yol açmakla beraber bütün çözüm denemeleri başarısızlıkla sonuçlandı; nihayet Abel (1802-1829), beşinci dereceden denklemi köklerle çözmenin imkânsızlığını ispat etti.

Galois’nın teorisiyle aydınlanan ve kapsamı genişleyen bu sonuç bir cebirsel sayılar teorisine yol açtı. İkinci soru ise, ister istemez sanal sayıların (veya karmaşık sayılar) cebirde, sonra da analizde yer almasını gerektirdi. Temel cebir teoreminin (“n. dereceden bir cebir denkleminin kesinlikle n kökü vardır”) geçerliliğini sağlayabilecek tek unsur bu kapsam genişlemesidir. Bu teorem ilk olarak Gauss tarafından, ifade edilmemekle beraber ispatlandı.

O sıralarda henüz ortaya çıkmayan ve muazzam bir şekilde gelişeceği tahmin edilemeyen analiz, gerçek sayılar sistemine karmaşık sayıları katmanın büyük bir önem taşıdığını gösterdi. İtalyan cebircilerinin gösterdiği yolda en büyük başarıya ulaşanlar Viete (1540-1603), Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) gibi Fransız matematikçileri oldu. Günümüze kadar gelen ve bugün de hâlâ kullandığımız cebir, son gelişmeler hesaba katılmazsa onların eseridir.

Descartes ve Fermat çok basit bir fikirden, koordinatlar sisteminden hareket ettiler. Bu fikir cebire, sonsuz ufuklar açtı. Bu görüş çerçevesinde, analitik geometriye dönüşen geometri, cebirin basit bir uygulama alanı oluyordu.

Aksiyomlardan hareket edilerek yapılan kesin tümdengelim yerini hesaba bıraktı. Bu sayede, kısa bir süre sonra aralarına analizin de katılacağı matematik disiplinleri bir çeşit birliğe kavuşuyordu. Bu durumda, basit koordinatlar fikrinin “yeni matematik” (analize özgü fikirleri hesaba katmadan ve özellikle cebir ve geometri ile ilgili alanlarda) hangi sınırlara kadar geliştirebileceğini kestirmek mümkündü.

Düzlem analitik geometriden uzay analitik geometriye geçiş Parent (1666-1713) sayesinde oldu. Bu genelleştirme, ister istemez n boyutlu bir uzay fikrini doğuracak, aynı zamanda da böyle bir uzayda bir geometri kurmanın yollarını gösterecekti. Bunun başarılmasında, hayli geç olmasına rağmen, Schlafli’nin (1814-1895) eserine borçluyuz. n boyutlu bu uzaylar, kendiliklerinden, daha sonraki matematik araştırmalarında büyük faydası görülen birer araç oldu.

Bir düzlemde f, x ve y’li n. dereceden bir çokterimliyi gösterdiği halde, f(x,y)=0 biçiminde bir denklem n. basamaktan bir eğriyi gösterir. Bundan da anlaşılacağı üzere, cebir kendi düzenini geometriye aktarmış durumdadır. Birinci basamaktan eğriler birer doğru, ikinci basamaktan olanlar birer konidir v.b. Meselâ koniler konusunda cebir, meseleyi kendi açısından inceleyecek ve kendi usulüne göre elips, parabol ve hiperboller arasında birtakım ayırmalar yapacaktır.

Bu arada, sınıflandırmalarda her zaman görülen yozlaştırma tehlikesini de bu arada belirtmek yerinde olur. Bu araştırma ilkesi herhangi bir basamak çeşidine teşmil edilirse, cebirsel geometrinin de çerçevesi çizilmiş olur. Fakat bu çerçevenin belirtilmesi demek, aynı zamanda bu çerçevenin koordinatlar fikrinin genelleştirilmesiyle genişlemesi demektir.

Düzlem geometride, bir noktanın koordinatıyla birlikte bir doğrunun koordinatları da tespit edilebilir; uzay geometride de bir doğru ile bir düzlemin koordinatlarını tespit etmek mümkündür v.b. Böylece de geometri, yeni geometrik varlıklar ve yeni ilkelerle zenginleşmeye doğru gider.

Meselâ uzayda değişken bir doğrunun koordinatları arasındaki n. dereceden bir denklem, n. dereceden bir doğrular karmaşasını belirler. Ve bir noktanın koordinatları arasındaki herhangi bir denklemden bir düzlemin koordinatlarıyla meydana getirilmiş özdeş bir denkleme geçme imkânı, “ikilik” diye adlandırdığımız ilkeyi doğrular. Demek ki sadece cebirsel geometri sayesinde matematik araştırmaya açılan alan kendiliğinden sınırsız bir alandır.

Koordinatların değişmesi üzerinde de biraz açıklamada bulunalım. Bir koniğin, meselâ bir elips olması koordinatların seçimine bağlı değildir. Başka bir deyimle, bu oluşum bu seçime göre değişmez bir olaydır ve cebirsel bir eşdeğerinin bulunması pek tabiidir. Oysa bir karşılaştırma sisteminin değişmesi koordinatlarda yapılan bir ornatmayla açıklanır. Böylece de hem ornatmalar teorisi, hem de değişmezler teorisine yol açılmış olur.

Fazla ayrıntılara girmeden, homogen veya izdüşümsel koordinatların katılmasıyla, cebirsel geometri çerçevesinde izdüşümsel bir geometrinin doğduğunu (bu izdüşümsel geometrinin konusu izdüşümsel bir dönüşüm veya kısaca bir izdüşümdür) ve Cayley’in (1821-1855), matematik metotları açısından beklenmedik bir öneme kavuşacak olan izdüşümsel bir ölçübilim kurduğunu söylemekle yetinelim.

Cebirin kendisi de geometriyle bağlantısından yararlanacak mıydı? Cebir kendi fonksiyonuyla gelişecek ve yönünü bulacak; kendi rolünün gereklerine uygun bir seviyede kalmanın yollarını arayacak; denklem sistemleri (lineer denklem sistemleri meselâ), formlar ve ornatmalar cebiri, vektör ve tansör cebiri v.b. olacak; değişmez, determinant, matris, tansör v.b. gibi yeni kavramlarla zenginleşecek ve bildiğimiz bugünkü soyut biçimine kavuşmadan önce kapsamına yeni yeni işlemler alacak; yeni algoritmalar icat edecek; vektör hesabı, tansör hesabı, matris hesabı v.b. gibi aşamalardan geçecekti.

Yukarıda ana çizgilerini belirttiğimiz gelişmede kimlerin rol oynadıklarını pek tabiidir ki burada saymamıza imkân yok. Cebirin akıl almaz gelişmesi düşünülünce, cebir faaliyeti ile matematik faaliyetin aynı şey olduklarını ileri sürmek ilk akla gelen şeylerden biridir. Analiz meselesini önce tarih açısından, sonra da gelişmesi bakımından ele alınca bu iddiaların ne kadar dayanaksız olduğu kendiliğinden ortaya çıkar.

ANALİZİN

KEŞFİ

Newton (1643-1727) ile Leibniz (1646-1716) haklı olarak sonsuzküçükler analizinin yaratıcıları sayılırlar (zaten kendi aralarında da bu şerefi paylaşamamışlardır). Fakat analizi hiç yoktan varettikleri de söylenemez.

Konuyu dar bir açıdan ele almak istemezsek diyebiliriz ki, analiz sonsuz ile sonsuzküçüğü kendi kapsamına almakla cebiri aşan bir disiplindir. Sonsuz kavramı yunan düşüncesinde de ortaya çıkmış, fakat önce bir engel sayılmıştı: Zenon paradoksu (Akhilleus ve Kaplumbağa), sonsuz terimli bir sayının toplamı yapılamayacağı fikrine dayanıyor ve meselâ:

2=1+1/2+1/4+1/8 v.b.

gibi bir eşitliğin düşünülemeyeceğini ileri sürüyordu. Eudoksos’un tüketme sistemi bu güçlüğü ortadan kaldırmıştı. Arkhimedes’in bu sistemi, parabol parçasının kareleştirilmesine uygulaması bugün de matematik kesinliğin bir örneği sayılır. Gerçi sonsuz çarpanların, sonsuz terim ve çarpımlarının toplamları (seriler) sonsuzküçükler hesabının kurulmasından çok önce de sözkonusuydu. Bunun böyle olduğunu kabul etmek için,

…………………………. 2 2 4 4 6 6 8 8 …….
…………….. pi / 2 = —————————
…………………………. 1 3 3 5 5 7 7 9 …….

Şeklindeki sonsuz bir çarpım yardımıyla pi’yi belirleyen Wallis (1616-1703) formülünü hatırlamak yeter. Fakat, bu yoldan sunulan sonuçlar cebir biçimciliğinin geniş kapsamlı bir uygulamasından çok kesinliğe varmak tasasıyla yapılmış bir hesabın ürünleridir. Böylece “yeni hesap”ın kurulmasından hemen önce sonsuz işlemler kullanılmaya başlanmış, yeni hesap da bu kullanımdan yararlanmak imkânını bulmuştur. Zaten gerçek bir kesinliğe varmanın şartları çok daha sonraları tam bir açıklığa kavuşabilmiştir.

Yeni hesabın yararlanacağı başka bir sonsuz “kullanım”ı da bölünmezler geometrisinin kullanımıdır. Bölünmezler geometrisi, bir alanı, belirli bir yöne paralel bütün doğru parçalarının toplamı saymak cüretini gösteriyor ve aynı şekilde bir hacmi sonsuz sayıda bölünmez düzlemlerin toplamı sayıyordu.

Cavalieri (1598-1647), Roberval (1602-1675) ve Pascal’ın (1623-1662) ortaya attıkları bölünmezler teorisi bir bakıma bir alanın veya bir hacmin bir integralle hesaplanması yolunda bir hazırlıktı. Pascal bu yoldan birkaç basit fonksiyonun integrallerini de hesaplamayı başardı. Yeni metotların haklı olarak bir kenara ittikleri bölünmezler hesabı buna rağmen yer yer bu yeni metotlara destek olmuştur.

Alanlar problemi integral hesabının doğmasına yolaçtığı gibi, teğetler problemi de, özellikle bir fonksiyonun minimumu ve maksimumu problemine yaptığı katkıyla diferansiyel hesabın doğmasına imkan vermiştir. Teğetin açısal katsayısı ile belirlenmesi, türev, flüksiyon, enstantane hız (bir hareket diyagramında) v.b. kavramlarına yol açtı.

Bu şekilde ele alınan türev alma ve integral alma işlemleri kendiliklerinden birbirlerine karşıt iki işlem gibi görünmüyorlardı. Gerçekten de bu temel özelliği bir anda kavramak imkânsızdır. Galilei’nin mermiler üstünde yaptığı incelemede bu temel özelliğe rastlarız. Descartes ile Fermat ise bu karşıtlığa bazı özel hallerde rastlarlar.

Torricelli (1608-1647) ve Newton’un hocası Barrow da (1630-1677) bu özelliğin bilincine varmışlardı. Leibniz ve Newton’da ise bu temel özellik benimsenmiş, yerli yerme konmuş, fakat gene de türev alma ön planda tutulmuştur. Yeni hesap büyük bir hızla gelişti. Türev ve integral almaya bağlı temel kurallar kısa bir süre içinde belirlendi ve birçok probleme uygulandı.

Bu uygulamanın bir faydası da elemanter fonksiyonlar üstüne bilgilerin kesinleşmesine ve daha geniş bir kapsam kazanmasına imkân verdi. Taylor (1685-1731) ve Maclaurin’in (1698-1746) formülleri bu fonksiyonların seri halinde açılmasını sağladı. Bu konuda ilk sistemli çalışma, Bernouilli’nin (1667-1748) yardımından da yararlanan L’Hospital markisi (1661-1704) tarafından yapıldı. Bundan böyle yapılan çeşitli ayarlamalar ve düzeltmeler yeni hesabın tutulmasını engelleyemediği gibi uygulama alanında gitgide genişlemesini de durduramadı.

Yeni hesabın o devirlerde, cebirci Rolle (1652-1719) gibi inatçı muhalifleri olması (oysa ilk analiz teoremlerinden biri onun adını taşır) gerçekten şaşırtıcıdır. Buna bir sebep bulmak gerekirse denilebilir ki o sıralarda yeni hesap henüz sağlam temellere oturtulmuş değildi. Bu temel ancak XIX. yy.ın ilk yansında atılabildi. Fakat “yeni hesap”, temeli atılmış olsun veya olmasın kendi yolunda ilerliyor ve özellikle uygulama alanında başarıdan başarıya koşuyordu.

ANALİZİN

KURULUŞU

Sonsuzküçükler hesabının ilk hazırlık ve gelişme dönemi Büyük Katerina’nın Petersburg’a çağırdığı Basel’li dâhi matematikçi Euler’in muazzam eserinde doruğuna ulaşır. Klasik analizin benimseyeceği büyük yolların çoğu bu eserde gösterilmiş ve açılmıştır. Fakat buna rağmen, analizin ağlam ve tutarlı bir temele oturmuş bir organon gibi geliştiği gene de söylenemez.

Kendi temelini kendi kurmadan önce analiz bir süre için mekanik ve fizikle kader birliği yapacaktır. Burada cebirle geometrinin birbirlerini desteklemeleri hakkında söylediklerimizi tekrarlayabiliriz: kendi fonksiyonunu yerine getirebilmek için, analiz, olağanüstü genişlikte bir araştırma alanını kendi başına açmak zorundaydı.

Mekaniğin kurulması çok yavaş oldu. Statik denge kanunlarını aşan ilk bilgin Newton’dur. Bir kütleye uygulanan kuvvetin, bu kütle ile ivmesinin çarpımına veya hareket niceliğinin süresine göre türevine eşit olduğunu ileri sürmekle dinamiği de kurmuş oluyordu. Newton’un ikinci büyük keşfi olan yerçekim kanunu da bu dinamik konunun çerçevesinde yer alır.

Bu durumda, gök mekaniğinin büyük problemleri de hesapla, daha doğrusu temel kanunların ifadesinde türevler de yer aldığına göre, yeni hesapla çözülebilecek demekti. Dolayısıyla de çözümlenecek denklemler artık cebir denklemleri değil diferansiyel denklemler, yani en basit şekliyle belirlenecek bir fonksiyon ile bu fonksiyonun ilk iki türevi arasındaki bağıntılardı. Şunu da belirtelim ki, bu durumda bilinmeyen bir sayı değil bir fonksiyondur.

Newton sistemi gerçek bir gök mekaniğinin kurulmasıyla doğrulanacaktı, bu gök mekaniğinin gerçek sayılabilmesi için de, Güneş’in, Ay’ın, gezegenler ve kuyrukluyıldızların görünür hareketleri üstünde yapılan gözlemleri tam bir kesinlikle doğrulayabilmesi lâzımdı. Bu mekaniğin kurulması uzun çabalar gerektiren ve bütün büyük analizcilerin dikkatini çeken bir iş oldu.

Gerekli analiz araçlarının bulunması, diferansiyel denklemler üstünde, bazı denklemlerin çözümü (özellikle kısmi türevli denklemler) üstünde geniş araştırmalara yol açtı Zaten, titreşimli kiriş veya ısının yayılması gibi bazı büyük fizik problemlerinin ele alınabilmesi için gerekli şartlar da bu çerçeve içinde incelenmelidir.

İşin şaşılacak tarafı, analizin temelleri meseleyi tatmin edici bir şekilde açıklanmadan önce de bu araştırmaların büyük bir başarıyla sürüp gitmesidir. Fakat, şunu hemen belirtelim ki, analiz bazı eşikleri (msl. “var olma teoremleri” denilen teoreme götüren eşiği) ancak bu açıklama sayesinde aşabilirdi. Bu da, Cauchy ve Weierstrass’ın eserleriyle gerçekleşti. Bu iki bilgin, limit ve yakınsama gibi iki komşu fikrin, herhangi bir istisnaya yer vermeden tam bir kesinlikle uygulanmasını sağladılar.

Bütün temel kavramlar ve bütün “sonsuz usuller” tekrar ele alındı ve bu görüş çerçevesinde (sürekli, türev, integral, bir serinin toplamı, sonsuz bir çarpımın değeri v.b. kavramları) aydınlığa kavuşturuldu. Bu arıtma işlemini hiç bir tökezlemeye meydan vermeden yürütebilmek için “epsilonlar tekniği” denilen yeni bir teknik icat edildi. Daha önceleri gerçek bir kesinliğe kavuşturulmamış olmakla birlikte fonksiyon kavramı uzun süre kullanılmış, bu kavramın anlamını iyice sınırlayabilmek için özellikle Lagrange tarafından birçok denemeye girişilmişti.

Sözünü ettiğimiz genel hazırlık ve tanımlama dolayısıyla, analitik fonksiyon kavramı (karmaşık bir değişkenden türetilebilecek fonksiyon) bir gerçek değişkenin fonksiyonu yanında yer almaya hak kazandı. Bununla ilgili araştırmalar, bir fonksiyonlar teorisinde toparlanarak alabildiğine bir kapsam genişliğine kavuştu ve analizin de bu sayede birleştirici bir yaygınlığa ulaşabileceği anlaşıldı. Böylece bu temel kavramlar üstüne kurulan analiz, kesin bir doktrin halini aldı.

Hemen hemen aynı zamanda analizin mekanik veya fizikle ilişkisi de yepyeni bir özelliğe kavuşuyordu. Bütün bu bilim dalları, süregelen ve hattâ güçlenen işbirliklerine rağmen kendi ayrıcalıklarını da yavaş yavaş ortaya koymaya başlamışlardı.

Euler, d’Alambert, Clairaut Laplace’ın mekaniğe ve gök mekaniğine katkıları o güne kadar matematiğin ayrılmaz bir parçasıydı. Buna en iyi örnek olarak Lagrange’ın analitik mekaniğini gösterebiliriz. Varılan sonuçları yeniden ele alan analiz, bunları kendi çerçevesinde değerlendirdi; kapsamlarını genişletti, genelleştirdi ve denklemler ile âdi diferansiyel denklem sistemleri, birinci basamaktan diferansiyel denklemler, ikinci basamaktan diferansiyel denklemler, eliptik, hiperbolik ve parabolik denklemler, varyasyonlar hesabı v.b. birtakım kendi içinde tutarlı ayrı bölümler kurdu.

Bu araştırmalar sırasında, büyük fonksiyon sınıflarının karşılıklı seri halinde açılmasına (bu açılımın ilk örneği, Fourrier serileri dediğimiz trigonometri serileridir) imkân veren eksiksiz dikgen fonksiyon sistemleri de ortaya çıktı.

Analiz ayrıca, kuvvet alanları teorisine hâkim olabilmek için vektör ve tansör analizi haline dönüştü, V. Volterra ve J. Fredholm ile büyük bir integral denklemler ve integral-diferansiyel denklemler teorisi kurdu ve fonksiyon kavramı genelleşmiş şekline fonksiyonel kavramında kavuştuğu için, fonksiyonel analize yöneldi; analizin yaratıcı gücü hakkında tam bir fikir verebilmek için şu örneği de sayalım: Hilbert uzayı sonsuz boyutlu bir uzay fikrini, yakınsama fikri ve bir eksiksiz fonksiyonlar sistemiyle bağdaştırarak soyut ve genel bir analizin çerçevesini çizer.

Kendi öz temalarını, kendine özgü meseleleri gitgide daha serbest, daha takıntısız bir şekilde geliştiren ve benimseyen bu matematik faaliyetle birlikte mekanik ve fizik de, matematiğe indirgenemeyecekleri günden güne daha iyi açığa çıkan kendi özgürlüklerine kavuşmaya başladılar.

İşledikleri tema, ele aldıkları konu, her ne kadar matematik ifadelere sıkı sıkıya bağlı ve muhtaç bir konuysa da, saf matematikçinin deneyiyle sınırlanamayacak başka bir deneye dayanır. Bu çifte özelliği gözden kaybetmemek için, matematiğin saf matematik olarak, uygulandığı alanlardan, bir çeşit dili, ifade aracı olduğu alanlardan sıyrıldığı söylenir.

Cebir ve analiz başka bir açıdan da tekrar birbiriyle kaynaştırılmış ve her ikisi de yapısal analiz halinde birleşerek yeniden ortaya çıkmışlardır. Bu yeni dönemin bir faydası da, matematiğin uygulandığı alanlardan daha da ayrılması ve kendi özerkliğine büsbütün kavuşması oldu. Fakat bu özerklik, analize düsen görevi, yani bilme faaliyetimizin bütün nesnel yönünü kapsayan bir organon olmasını engellemedi.

DİFERANSİYEL

GEOMETRİ

Burada gelişmesini ana çizgileriyle belirttiğimiz matematik, metodoloji bakımından, Eski Yunan’daki yol gösterici görevini hiç bir zaman tekrar yüklenmedi. Koordinatlar aracılığıyla cebire bağlandığını, cebirsel geometriye dönüşerek çeşitli gelişimler geçirdiğini, diferansiyel hesap ve integral hesaba yolaçan problemler çerçevesinde (özellikle teğetler problemi) analizle bağıntı kurduğunu gördük. Bütün bunlar, analizin geometriye uygulanmasıyla ortaya çıkan diferansiyel geometrinin ilk belirtileriydi. Bu araştırma alanında varılan sonuçları belirtmek için üç olay ve üç isim üstünde duracağız.

Gauss’un theorema egregium’u bir yüzeyin her noktasında, “Gauss eğriliği” dediğimiz eğrilik (veya “tüm eğrilik”) bu yüzeyin genişlemesiz her fleksiyonu için bir invariyanattır. Ds2’si ile karakterize edilen n boyutlu bir Riemann uzayında bu teorem eğrilik tansörünün aracılığıyla genelleşir. Riemann uzayları da kendi genelleşmiş şekillerine E. Cartan’ın affın, uygun v.b. bağımlı uzaylarında kavuşurlar. Einstein’ın genel çekim teorisi, ifadesini Reimann’ın dört boyutlu uzayında bulur ve ancak Cartan’ın uzaylarında genelleştirilebilir.

Ayrıca, Cartan’ın bağım teorisinde Lie gruplarının, yani n boyutlu bir uzayın değişimi sürekli gruplarının rolünü de belirtelim. Kendileri de önemli araştırmalara konu olan bu gruplar günden güne sayısı artan alanlarda başvurulan güçlü bir çalışma aracıdır. Erlangen’de açıkladığı programında F. Klein, bu grupların sınıflandırmasından, geometrileri sınıflandırmada yararlanmayı önermişti; bu sınıflandırmaya göre geometri sınıflarının her biri kavramlara dayanacak ve her birinde belli bir değişim grubu için değişmeyen özellikleri kapsayacaktı. Bu usule göre, Eukleides veya Eukleides dışı metrik geometriler, affin geometri, izdüşümsel geometri v.b. temel gruplarıyla ayırt edilirler.

Einstein’ın genel bağıllığının yer aldığı Riemann uzayı, “Lorentz grubu” dediğimiz grupla belirlenir.

YENİ

GEOMETRİLER

Yukarıda sıraladığımız bu çeşitli araştırma doğrultuları arasında, konusu doğrudan doğruya geometri olan, eski Yunanlıların saf geometrisine bağlanabilecek bir geometri yok mudur? Şimdi bunlardan üçü üstünde duracağız.

Bu geometrilerden ilkinin hareket noktası, Rönesans ressamlarının perspektif çalışmalarıdır. Bunun ilkelerini sadece Piero Della Francesca’da aramak doğru olmaz. Desargues’dan sonra “sentetik geometri” denilen dolaysız bir izdüşümsel geometrinin doğduğunu görüyoruz. Carnot, Poncelet ve Chasles (geometri metotları üstüne bir incelemesi vardır) gibi Fransız geometri uzmanlarının ve bu arada İsviçreli büyük geometri bilgini İ. Steiner’ın geliştirmeye çalıştıkları bu geometri, Alman geometri uzmanı von Staudt sayesinde bağımsızlığına kavuştu. Fakat, izdüşümsel koordinatları kullandığı için kısa bir süre sonra bu geometri cebirsel geometri çerçevesine girdi.

Gelişme doğrultularının ikincisi, elemanter geometrinin doğrultusu, özellikle de Eukleides paralelleri postulatının tartışmasıdır. Bu postulat daha Eukleides’in ilk yorumcuları tarafından, doğruluğu bakımından değil de inandırıcılığı bakımından şüpheyle karşılanmıştı. Bu yüzden Eukleides’in postulatını ispatlamak veya herkesçe kabul edilebilecek başka bir postulat ortaya atmak için çaba gösterildi.

Tartışma, Araplar arasında da devam etti (Nasreddin ve Şemseddin el-Semerkandi’nin [1276] denemeleri). Batı’da yeniden ele alınan bu tartışma birçok geometriciyi, bu arada P. Sacceheri’yi (1667-1733), Lambert’i (1728-1777), Legendre’ı (1752-1833) ve Gauss’u (1777-1855) uğraştırdı. Kabul edilegelen açıklıklardan hareket ettiğimiz zaman paraleller postulatını ispat edemeyeceğimizi ilk defa akıl eden Gauss oldu.

Düşüncesini açıklamamakla beraber, bıraktığı notlardan anladığımıza öre Gauss, paraleller postulatının yanlış sayıldığı eukleides’çi olmayan ve “hiperbolik” diye nitelenen geometriyi keşfetti. Gauss’un vardığı bu sonuca bir süre sonra geometrici Bolyai (1802-1860) ve rus geometricisi Lobaçevskiy de (1792-1856) vardılar.

Lobaçevskiy’in doğru bir geometri kurmak için kullandığı metot Eukleides’in metodundan tamamen ayrıdır. Analitik geometri çerçevesinde bu tartışma meselesi bir yandan aydınlığa kavuşurken, bir yandan da karanlık bir hal aldı. Gerek hiperbolik geometrinin, gerek Eukleides geometrisinin, gerek Riemann (1826-1866) tarafından bulunan eliptik geometrinin tümdengelimli mantık bakımından kusursuz oldukları herkesçe kabul ediliyordu. Fakat ikişer ikişer ele alındıkları zaman tümünün de çelişik oldukları açık bir gerçekti.

Bu çıkmazdan kurtulmak için geometri metodu kullanılamadığına göre, ilk bakışta, son sözü analize bırakmak zorunlu görünüyordu. Buna rağmen söz konusu geometrilerin her birine aksiyomatik metodu uygulamanın mümkün olmasıyla, metodoloji alanında oldukça büyük bir hamle yapıldı. Bu hamleyi D. Hilbert’in (1862-1943) meşhur Grundlagen der Geometrie’sine (Geometrinin Temelleri) borçluyuz. Fakat Hilbert ile ana doktrin de temelinden değişti.

Temel aksiyomlar artık kendiliklerinden açık ve kabul edilebilir önermeler ayılamayacaklarına göre, bunların rolü, aksiyomlara uymaktan başka bir özelliği olmayan elemanter kategoriler arasında geçerli görülebilecek mantık bağıntıları ifade etmektir. Fakat böyle bir aksiyomlar sisteminin çelişik olmaması, temel ifadelere ve bütün sonuçlarından meydana gelen cümlelere aykırı düşecek ifadelerden kurtulması için ne gibi bir kıstasa başvurmalıdır?

Üç geometriyi bu bakımdan ele alan Hilbert doğruluk garantisini analizin verebileceğini ispatladı. Bu meselelerin, matematik metodundaki son değişikliklerde büyük etkisi oldu. Hilbert’in Grundlagen’i de, geometri üstüne geniş aksiyomatik araştırmaların yapılmasına yol açtı.

Dolaysız geometri araştırmalarının üçüncü doğrultusu, yani Leibniz’in Analysis situs dediği topoloji doğrultusu hakkında birkaç sözle yetineceğiz. Topolojinin konusu, herhangi bir sürekli deformasyonun değiştiremediği şekillerin, biçimlerin ve özelliklerin incelenmesidir. Meselâ bir yüzeyde kapalı olma özelliği veya bir tor’un deformasyonu olma özelliği ele alınır. H. Poincare’nin (1854-1912), bunun cebirsel olarak ifade edilmesinde büyük katkısı olmuştur. Bugün yeni cebire ve gruplar teorisine bağlanan topoloji günden güne yapısal matematiklerin kapsamına girmektedir.

Çeşitli matematik ve disiplinlerini sıraladığımız bu özetin eksiksiz olması için, sayılar teorisini ve ihtimaller hesabını da saymamız gerekir. Fermat’dan bu yana sayılar teorisi birçok büyük matematikçi tarafından ele alınmıştır. Fakat teoriye ilişkin çetin araştırmaları burada birkaç kelimeyle özetleyemeyeceğiz.

İhtimaller hesabına gelince, bu konuyu matematiklerin metodundan söz ederken ele alacağız.

YAPILAR

MATEMATİĞİ

Matematiklerin metodu açısından aksiyomatik metoda dönüş (Hilbert), büyük bir dönüm noktasıdır. Fakat dönüm noktasını bir geriye dönüş sanmak doğru olmaz: Hilbert aksiyomatiği Eukleides aksiyomatiğinden büsbütün başkadır. Bu olayı gereğince değerlendirmek için daha geniş bir çerçeve içinde ele almalıyız.

XIX. yy.da cebir ve analizin yanı sıra iki yeni disiplin doğmuştu: sembolik mantık ve cümleler (veya kümeler) analizi. Boole (1815-1864), Schröder (1841-1902) ve Frege’nin (1848-1925) temsil ettikleri birinci disiplinin maksadı her şeyden önce mantıki muhakemeyi bir cebir hesabına indirgemektir (“Boole cebiri” denilen bu cebir klasik cebirden oldukça farklıdır).

Bu ilk amacını zamanla aşan sembolik mantık oldukça geniş bir alana yayıldı ve predicat’lar mantığı, sınıflar mantığı, önermeler mantığı v.b. diye kollara ayrıldı. Hattâ Whitehead (1861-1947) ve Russell’in (1872-1970) Principia Mathematica’larıyla büyük çapta birleştirici bir teşebbüse girişerek bütün mamatikleri sadece kendi temel kavramları ve ve kuruluş kurallarıyla ifade etmeye yöneldi.

Cebir, analiz ve geometri cümleler kavramından gittikçe artan bir özgürlük ve genelleştirme çabasıyla yararlandıkları için bu kavramın er geç derin araştırmalara konu olması beklenirdi. Bir genel cümleler teorisini ilk defa ortaya atan G. Cantor (1845-1918) oldu. Bu teori özellikle kuvvetleri bakımından birbirinden ayırt edilebilecek sonsuz cümleler üstünde durur ve sonsuz bir sayılamanın ortaya koyduğu sonlu basamaklar ve sonsuz basamak ötesinde tedrici bir aşamayla art arda gelen sonsuzötesi basamakları kurar.

Sembolik mantık gibi cümleler teorisinin de kavramsal unsurları ve kendi kuruluş usulleri, matematikler bütününün birleştirici bir ifadede toplanması için kullanılabilir; bu alanda atılacak ilk adım gerçek sayılar cümlesinin sürekliliğini veya başka bir deyimle bir doğru noktaları cümlesinin sürekliliğini olanca açıklığıyla yeniden kurmaktır. Fakat her iki disiplin de gelişmeleri sırasında beklenmedik bir şekilde birtakım paradokslarla, yani çelişik önermelerle karşılaştılar. Bu olay çok değişik tepkilere yol açtı.

Tepkilerin en şiddetlisini gösteren Brouwer (1881-1966) doğrudan doğruya matematik muhakemenin kendisini suçladı ve özellikle üçüncüyü dışta bırakma ilkesinin sonsuz kategorilere uygulanabileceğini gösterdi. Bu matematik akılyürütme şeklinin yerine de, her adımını sui generis bir matematik sezginin ışığında atan ve kendi dışında daha güvenilir bir garantisi olmayan sezgisel bir düşünme metodunu ortaya koydu. Gerçi bu yola başvurulunca paradokslardan kaçınmak mümkündür ama klasik matematiklerin büyük bir kısmını da bu şekilde yeniden kurmak imkânsızdır.

Buna karşılık Hilbert klasik matematikleri uygulamanın herhangi bir çelişmeye yol açmayacağını ispatlamaya girişti. Bu maksatla da, kendi aksiyomatik metodunu aşarak biçimlendirici bir metodun temellerini atan bir ispatlama teorisi kurdu. Bir teoride yer alan aksiyomlar, başvurulacak mantık kurallarıyla aynı zamanda biçimlendirildiklerinden, tümdengelim işleminin yerini sembolleri kullanmaya ilişkin bazı kurallar alır.

Bu şekilde hareket etmenin yasak, yani çelişmeye yol açabilecek formüller doğuramayacağını ispatlamak için, Hilbert ile Bernays önceleri sembollerin problematiksiz ifadesine başvurmayı düşünmüşlerdi. Her ne kadar kurucularının tasarladıkları şekliyle kalamadıysa da, ispatlama teorisi biçimlendirici usuller üstüne sayısız araştırmaya imkân verdi. Bir disiplinin başka bir disiplinin araçlarıyla ifadesi, her zaman bu iki disiplin arasında ortak bir yapısal yönü ortaya koyar.

Hilbert’in görüşleri, matematikleri bütünüyle yeniden ele almak ve genel bir yapılar teorisine dönüştürmek yolundaki çalışmaları hızlandırdı. Burada söz konusu olan, matematik etkinliğin bünyesinde yer alan soyuta doğru bir gelişmedir. Bu gelişme daha çok cümleler teorisi ve bu cümlelerde bulunabilecek yapıların incelenmesi ile cebirler (kuaterniyonlar cebiri gibi basit cebirin dışında kalanlar), gruplar v.b. ile gerçekleştirilen yapıların incelenmesi arasındaki kaynaşma ile oldu. Bu yeni eğilimin en belirgin örneği günümüzdeki topoloji çalışmalarıdır.

Matematiklerin genel olarak yeniden ele alınması, özellikle “Bourbaki okulu” diye bilinen Fransız okulu sayesinde gerçekleşti. Şunu da belirtelim ki, matematiklerin böyle yeni bir biçimde ortaya çıkmasını, cümleler teorisi temellerinin bir açıklığa kavuşturulmamış olması engelleyemedi. Demek ki matematikçinin soyuta doğru yönelmesini doğrulayan ve garanti eden, çelişmezliği uzun zamandan beri defalarca denenmiş bir etkinlik çerçevesinde yer almasıdır.

 

SONUÇLAR

 

Kesinliği, özellikle bilginin araçları ve yolları konusunda kesinliği amaç edinen her felsefe, matematiğin bu yolda büyük bir başarıya ulaştığını inkâr edemez. İhtimaller hesabı bu başarının en iyi örneği ve özetidir. Yeni kurulan ihtimaller hesabının temellerini atanlar başta Jacqııes Bernouilli (1654-1705) olmak üzere Pascal ile Fermat’dır.

İhtimaller hesabı çerçevesinde matematikçi, belli bir deneylemeye karşılık olarak belirli bir kavramlar bütününü ve bu kavramlar arasında bağıntı kurma tarzlarını ortaya koyabilir. Bu “karşılık”, bu cevap, göz önünde bulundurulan gerçek şartların sadık bir tekrarı değil, bu şartların idealleştirilmiş bir taslağıdır. Matematikçinin ister deneyine devam etmesine, ister kendi zihni üretiminin sonuçlarını ortaya koymasına hiç bir engel yoktur. Demek ki hesabın doğuşu belirli bir ikilik ilkesine göre olur.

Uygulanması ve alacağı yer bakımından da hesabın iki yönde gelişmesi mümkündür: bir matematik disiplini olarak, soyuta giden genel harekete katılabilir ve bir genel yapılar teorisinde yer alabilir. Uygulamalı bir disiplin olarak ise, müdahale alanı bütün bilgi alanını kapsayacak şekilde genişletilebilir.

İkilik ilkesi matematik disiplinlerinin bütününe teşmil edilmelidir. Bu ilke, matematik yaratma gücünün günden güne artan özgürlüğü ile matematik uygulamaların günden güne artan kesinliğini karşılaştırmaya imkân verir. Böylece matematiğin, gerek insan zihninin gelişmesinde, gerek bütün tekniklerin ilerlemesinde ne kadar önemli ve vaz geçilmez bir rol oynadığı daha iyi anlaşılır.

 

‘Matematik nedir?’

sorusuna kesin bir yanıt henüz verilmiş değildir.

Matematik, kimisine göre kuralları belli satranç türünden bir zekâ oyunu; kimisine göre sayı türünden soyut nesneleri konu alan bir bilim; kimisine göre bilim ve pratik yaşam için yararlı bir hesaplama tekniği. Matematikçilerin gözünde ise matematik bizi doğruya, kesin bilgiye qötüren biricik düşünme yöntemi. Matematiği “bilimlerin kraliçesi” sayanların yanında, hizmetinde görenler de vardır. Hatta onu ne olduğu, neyle uğraştığı belli olmayan, salt bir zihinsel çıkarım ya da dönüştürme işlemi diye niteleyen, yada karmaşık kavramsal bir labirente benzeten saygın filozoflara rastlamaktayız. Matematik tarih öncesi zamanlardan bu yana insanoğlunun kullandığı ortak bir düşünce sistemi, ortak bir dildir. Dünyada hiçbir dil, hiçbir din, hiçbir düşünce matematik kadar yaygın, etkili ve sürekli olmamıştır.

‘Bir başka değişle matematik, günlük hayattaki problemleri çözmede başvurulan sayma, hesaplama, ölçme ve çizme, dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi geliştirmede başvurduğumuz bir yardımcıdır.’ (Baykul, 1999:25).


Matematik Nedir?


1.2. Matematik Niçin Doğmuştur?


Matematik insanlar arasındaki bir takım gereksinmelerden doğmuştur. Değiş tokuş gereksinmesi, ticaret yapma isteği, toprak ölçme sorunları insanları ilk matematik kavramlarını işleme ve kullanmaya yöneltmiştir. ‘Yunanlılardan çok önce Sümer ve Mısır matematiklerinin varlığını gösteren belgelerden, alan hesabının hatta bazı çizgisel denklemlerin özel bir yazma biçimine başvurmadan pratik yoldan çözümünün bilindiği anlaşılmaktadır.’ (6) Tarihi daha detaylı incelersek; ilk çağlarda bile bugün bilgisayarlarda kullanılan ikili sistemin Mısır aritmetiğinde kullanıldığını görürüz. Yine o çağlarda dairenin çevresini, Nil Nehri'nin taşma zamanlarını saptamak için mevsimleri ve böylece 365 günü içeren takvimlerin hazırlandığını görmekteyiz Başka ülkelerin bilimlerini inceleyen Yunanlılarda ilk köklü bilgileri Mısırlılardan öğrenmiş oldular. Yine geçerliliğini her zaman koruyan ‘Bir dik açılı üçgenin uzun kenarının karesinin, öteki iki kenarın kareleri toplamına eşit olduğunu’ belirten ünlü Pisagor Teoremi M.Ö. 570 yıllarında kanıtlanmıştır. Hintliler bugün de tüm dünyada kullanılan sıfırı da içeren onluk sayı sistemini kurmuşlardır. En büyük Arap matematikçisi El-Harezmi (780–850) cebirin kurucusudur. Orta çağ Avrupa matematiği bu bilginin eserlerinden oluşmaktadır. Araplar dünyaya eski ve çağdaş bilim konusunda eşsiz hizmette bulunmuş Hint ve Çin buluşlarını dünyaya tanıtmıştır. Ancak modern bilimin kurucusu olamamıştır. Doğu matematiği uygulamalı bilim kökenliydi. Takvimin hesaplanması, tarımsal üretim ve bayındırlıkla ilgili işlerin örgütlenmesi, vergilerin toplanması uygulamalı aritmetik ve ölçme sorunlarına öncelikle ağırlık verilmesini gerektirdi. Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanır kazanmaz sayı ve ölçü kavramları gelişti. Sayı kavramı matematiğin temelini oluşturur. Sayılar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden doğmuştur. Sayılar alışverişi de olanaklı kılan para sistemlerinin ortaya çıkmasına yol açmıştır. Daha sonra yunanlılar matematiksel usa vurmayı mantıksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanıtlayıcı olmayan önermelerin, temel varsayımlardan çıkarılabilmesini sağlayarak matematiği kesin bir bilim dalı haline getirdiler. Ayrıca müzik ve resimle ilişkiler kurarak mantıksal düşünüşlerini sanatları da içerecek biçimde genişlettiler. Fakat matematik 16. yüzyıla dek pek fazla gelişmedi. Günümüzde tüm dünya eşi görülmemiş bir değişim yaşamaktadır ; fakat hala Avustralya’daki Aranda kabilesinin üyeleri gibi daha pek çok yerlerdeki yerliler 3’e kadar bile tam anlamıyla sayamıyorlar. Bu insanların dillerinde sadece 1 ve 2’yi anlatan sözcükler var. 3 için biriki, 4 için ikiiki. 4’ten sonraki tüm sayılar ise “çok” .Aslında çok büyük sayıları anlatmanın çok çeşitli yolları var. Sözgelimi birin peşine kaç tane 0 koyduğumuzu söyleyebiliriz. Sümerler bir elin parmakları olan 10 sayısını ve onluk sayma sistemini kullanmışlardır. 12 aralığını bularak zamanı saatle, 60 sayısından yararlanarak zamanı ölçen saati, dakikayı, saniyeyi bulmuşlardır. Hiçbir şey birden ortaya çıkmamıştır. Ama matematik bir gereksinmedir. Yaşamın bir parçasıdır. Yaşamın her evresi matematiktir. Doğru düşünme kurallarını öğretir. Düşünce ile somut kavramlar arasında bağıntı kurar. Sosyal ve bilimsel gelişme sürecini çabuklaştırır. 

1.3. Amaçları Ve Etkileri Nelerdir?


Matematiksel düşünme ve akıl yürütme, fen ve teknolojiye dayalı beceriye olan gereksinim hızla artmaktadır, bir yüksek okulda veya iş yerlerinde başarılı olmanın anahtarlarından biri, en az ortaöğretim düzeyinde matematik bilmek; problem çözme becerilerini edinmektir. Öte yandan, ilköğretim ve ortaöğretim öğrencilerinin eğitimi sürecinde matematikle ilgili edinmesi yararlı olacak genel bakış noktaları ve açılım (perspektif) vardır. Bunlardan bazıları şunlardır: 

Matematik Yararlıdır: Matematik yaşadığımız ortamı ve çevreyi, doğayı, yer küremizi ve evreni anlamamıza, onun üzerinde kontrol gücü kazanmamızda bize yardımcıdır.
Matematik Zevklidir: Matematik, zevkle öğrenilecek ve bulgulanacak (keşfedilecek) ilginç ilişkiler ve örüntüler (pattern) içerir.

Matematiğin Ayrı ve Zengin İçeriği Vardır: Matematik diğer bilim dallarından farklı, fakat çok zengin içeriği olup bunlar yalnızca okul ve üniversite düzeyinde matematikle sınırlı değildir.

Matematiksel Etkinlikler Çeşitlidir: Matematik etkinlikleri, sınıflama, sıralama, soyutlama, genelleme, ispat, problem çözme, nicelikleri sayı, sembol ve grafiklerle temsil etme, açıklama, yorumlama vb çeşitli uğraşılar içerir.

Genel Amaçlar: Okul bağlamında, matematik eğitiminin beş ayrı boyutta amaçları bulunmaktadır. Bunlar:
Toplumsal Amaç: Her yurttaşın matematik kullanıcısı olarak hazırlanması.
Kültürel Amaç: Matematiğin kültürel senteze katkısı.
Kişisel Amaç: Her kişinin yaşamında matematik eğitsel güçtür.
Teknik Amaç: Matematikçilerin ve matematik bilimcilerinin yetiştirilmesi.
Estetik Amaç: Matematiğin bir bilim dalı olarak kendine özgü özellikleri ve güzelliği.
Matematiğin amaçlarını ve etkilerini genel olarak şöyle sıralayabiliriz: 

Günlük Yaşamda;
· Düşünceleri açık ve kesin olarak belirtebilme
· Sezgisel egemenlik ve sağduyu sahibi olabilme
· Açık ve kesin anlatım gücü kazanma
· Bağımsız ve özgün düşünme alışkanlığı geliştirme
· Yeni düşünceleri kabule hazır olma
· Kendine güven duygusu geliştirme ve güçlü kişilik özelliklerine sahip olma
· Problem çözme becerilerini geliştirme ve bu becerileri gerçek yaşam problemlerini de içeren matematiksel problemleri çözmede kullanma

Eğitim Hayatında;
· Verileri sistematik olarak düzenleyebilme ve yorumlayabilme
· Usavurma yoluyla doğru sonuçlara ulaşabilme
· Temel ilişkileri bularak bir problemi çözümleyebilme
· Özgün düşünebilme ve araştırabilme
· Özel kavramları kesin olarak genelleyebilme.
· Matematiksel usavurma, istatistiksel usavurmanın doğasını ve sınırlılıklarını kavrama 
· Sonuca ulaşmak için bilimsel düşünme ve usavurma alışkanlığı geliştirme
· Düzenli çalışma alışkanlıkları ve bir konu üzerinde yoğunlaşabilme gücü geliştirme
· Problem çözmede hesap makinesi ile bilgisayar kullanmayı öğrenerek matematiksel iletişim kurma
· Bir görevi sistematik olarak ve mantıksal bir biçimde tanımlama alışkanlığı geliştirme

Günlük yaşam ve eğitim hayatı şeklinde gruplara ayrılmasına rağmen matematik hayatın her alnında kullanıldığı için grupların birbirinden kesin sınırlar dahilinde ayrılması zordur.

Bununla birlikte, toplumlarda matematikle ilgili bazı efsaneler yaratılmış olup bunların bazıları kuşaktan kuşağa aktarılarak günümüze kadar gelmiştir. Bunlardan bazıları şunlardır: 
· Matematik yapmak, doğru yanıtı elde etmektir.
· Tüm yararlı matematik, yıllar önce keşfedilmiştir.
· Matematikte başarılı olmak daha çok doğuştan yeteneklere bağlıdır çok çalışmaya değil.
· Çok iş, az matematik gerektirir.
· Bayanlar matematikte daha az yeteneklidir.
Bu tür soruların yanıtını, matematik eğitimcileri uzun süre araştırmış, efsanelerin geçerli olmadığı görülmüştür.

1.4. Matematik Hangi Alanlarda Karşımıza Çıkmaktadır?

Matematik Nedir - Matematiğin TarihçesiMatematiğin bireyi ve toplumu hangi işlevleriyle, nasıl etkilediğini bilmek gerekliliği kaçınılmazdır.

Matematik, gelişmesini her yönde sürdürmektedir ve bu anlamda çok canlıdır. Son iki yüzyıl boyunca görünümünü oldukça değiştirmiş olmasına karşın; geçmişinden hiçbir şeyi yadsımamıştır. Evkleides teoremlerini içeren önermeler, günümüzde de teorileri olarak kalmıştır. Olsa olsa tuttukları yer değişiktir. Günümüzde matematik kendi dinamiğinin yanı sıra başka bilimlerle arasındaki etkileşim nedeniyle çok hızlı bir gelişme göstermektedir. XlX. yüzyıl içinde matematikte görülen hızlı ve olağanüstü gelişmeler, aynı zamanda felsefî nitelikler de taşımaktadır. Genel düşünce ve çözümlere önem vermektedir. ‘XX.yüzyıl matematiği eski ve klasik yapıyı hemen hemen her dalda değiştirecek yeni ve geniş ufuklara açılmıştır. Bu arada “Modern Matematik” denilen çok gelişmiş; o ölçüde de basitleşmiş, kolaylaşmış yeni bir matematik şekli ortaya çıkmıştır. Uzay yolculuklarının çok rakamlı hesapları, ancak bu yöntemle yapılabilmektedir. “Elektronik Beyin” denilen bilgisayar makineleri de bu esasa göre kurulmuştur.’ Bilgisayarların geliştirilmesiyle hesaplamalar için gereken süreler kısalmıştır. Astronomi ölçüleri ve zamanın belirlenmesiyle ilgili hesapların doğruluk derecesi arttıkça, denizcilik ve haritacılık da gelişti, zaman içinde matematik daha iyi gemilerin, lokomotiflerin, otomobillerin ve sonunda da uçakların tasarımı için kullanıldı. Radar sistemlerinin tasarımında aya ve bazı gezegenlere roket gönderilmesinde de matematikten yararlanıldı. İşte bu birkaç örnek matematiğin yeni gelişimini bize gösterir.

Okullarımızda, matematiğin yaşamın bir parçası olduğu öğrenciye hissettirilmelidir. Öğrendiği bilgileri yaşamına uygulayabilmelidir. Öğretim sistemimizde sanki gelenekleşen yanlış düşünceler vardır. Matematiği aile olarak, öğretmen olarak, okul olarak çoğunlukla yanlış yorumluyoruz. Zekâ ve yeteneğin asıl ölçeği olarak görüyoruz. Oysa matematik de, diğerleri gibi öğrenilmesi gereken bilgilerdendir. Öğrencinin ilgi ve yeteneğine göre az ya da çok öğretilmelidir. Başka bir deyişle; matematiği ürkütücü kılan psikolojik nedenler öncelikle giderilmelidir.
‘Çocuk psikolojisi üzerinde çalışanlar, çocukların özellikle ilkokulda matematiğe karşı tavır aldıklarını belirtiyorlar. Sorun, hem işlevsellik hem de yöntem sorunudur. Özellikle temel eğitimde öğrenci, öğrendiği bilgileri kullanabilmelidir. Çocuk, günlük hayatında bin bir türlü matematik işlemi ile karşı karşıyadır. Matematiğin sağladığı olanaklarla kavramsal düşünecektir.’

Matematik dersinin her basamakta hayat için olması zorunludur. Yeni yetişen kuşaklara matematiksel görüş, matematiksel düşünüş vermek artık bir zorunluluktur. Matematiği bir eğitim olgusu olarak düşünmek gerekir ve matematiği diğer derslerle paralel yürütmenin de önemini bilmek gereklidir.

Matematik, “İnsanca” yaşamayı, öğretmeyi hedefler. Öğrencilerin analiz, sentez, kavrama, tümdengelim, tümevarım gibi akıl yürütmelerine olanak sağlar. Öğrencilerin kararlı, düzenli ve sistemli olmalarına yardım eder. Öğrencileri ön yargılardan uzak tutar, sabırlı olmayı öğretir. Edinilen bilgilerin günlük yaşama geçirilmesine etkin olur. Yorum güçlerini geliştirir. Edinilen bilgileri fen ve sosyal bilimlere transfer etme olanağını sağlar. Zihin ve yetenek gelişmesine yardımcı olur.

Matematikte düzenli, planlı ve sabırlı çalışma ile başarılı olunabilir. Soruları çözerken çağrışım, benzerlik yorumlara yer verilmeli, çok uygulama yapılmalıdır. Verimli etkin çalışma ile düzenli tekrar teknikleri kullanılmalıdır, hedef belirlenmeli, program yapılarak kararlı bir biçimde uygulanmalı, başarılı olunacağına inanılmalıdır.
‘İnsanoğlu binlerce yıl boyunca, doğa olaylarını açıklamaya, içinde yaşadığı evreni bilmeye ve doğaya egemen olmaya çabalamaktadır. Bu çabada onun en sağlam aracı, matematiktir. Doğaüstü görünen pek çok olayın açıklaması yine matematikle verilebilmiştir. Ve yine temel yapısı matematiğe dayanan elektrik ve magnetizma kuramı olmadan; radyolarımız çalmaz, televizyonlarımız göstermez, evlerimiz aydınlanmaz, fabrikalarımıza enerji akmaz, röntgen aygıtı çalışmaz, haberleşme ağı kurulamazdı.’ 

İnsanlar ufkunu ne kadar geliştirirlerse, matematik de hiç durmadan gelişimini devam ettirecektir. Toplum; bu yeni gelişmeler ve eğilimler sayesinde matematiği daha da geliştirip ondan daha fazla yararlanma olanağını elde edecek ve matematik diğer bilimlerde anahtar görevi görmeye devam edecektir. Süregelen tarihi sürecinde Matematiğin amacının insanların doğuştan getirdiği düşünme kabiliyetini geliştirmek olduğunu söyleyebiliriz. Matematik, bizlere bir kısım bilgiler kazandırarak karşılaşacağımız olay ve problemlerde inceleme, araştırma ve karşılaştırmalar yaptırarak, düzenli ve dikkatli olmamızı, mantıklı düşünmemizi ve her konuda doğruyu bulmamızı sağlar. Problemleri çözerken değişik bağlantıları bulmak insana heyecan verir. Böylece insanda yeni şeyler bulma arzusu doğar. Bütün bilimlerin doğması ve gelişmesi insandaki bu arzudan doğmuş bu da matematik yardımıyla olmuştur. Bu sebeple bütün bilim dallarında matematikten yararlanılır. Matematik nitelikleri değil nicelikleri konu edinir, fakat niteliği bulunan her şeyin sayılabilir ve ölçülebilir olması, matematiğin fen bilimleri ve teknolojinin yanında değil sosyal bilimlerde de vazgeçilmez olmasını sağlamıştır. Bu yüzden matematik her öğrencinin öğrenmesi gereken bir bilimdir.

Temel matematik bilgi ve becerileri edinmemiş bireyin yaşantısını sürdürmede, özgürleşmekte ve yaşam boyu öğrenme sürecinde çeşitli sorunları olacaktır. Bu nedenle hayatın içinden gelen matematiği yine hayatımızı kolaylaştırmak için hayata katarız. 

‘Günlük yaşantımızda, okulda ve iş dünyasında matematiğin önemi ve gerekliliği yadsınmamaktadır. Bunun kanıtı, ilköğretimin ilk yıllarından başlayarak zorunlu eğitim süresi içinde öğretim programlarında matematik derslerine zaman çizelgesinde yer verilir; bir üst okulların veya bir mesleğe giriş sınavlarında bir takım matematik soruları sorulur. Bunun, kuşkusuz, bir dizi önemli ve tartışmasız kabul edilen nedenleri vardır. Bunlardan biri, matematiğin güncel yaşamda, düşünme ve karar vermede vazgeçilmez zihinsel etkinlikler içermesi iken diğer bir nedeni de matematiğin bilimsel çalışmalarda ortak dil ve araç olmasıdır. Ancak, başta matematikten ne anlaşıldığı olmak üzere okullarda neyin, niçin, ne ölçüde ve nasıl öğrenme-öğrenme konusu olacağı, sürekli tartışma konusu olmaktadır.’ 

‘İnsanlar günlük yaşamda sık sık aritmetikten yararlanmakla birlikte üzerinde hemen hemen hiç düşünmezler. Örneğin; günlük dilde kullandığımız birçok sözcüğün anlamını da pek bilmeyiz. Sorulursa şaşırırız, bocalarız. Aslında düşünmeden yaptığımız birçok davranışın nedenlerini de araştırmayız. Herhangi bir şey satın alan biri ödediği ücreti ve geri aldığı para üstünü sayarken ticaretin başladığı dönemden beri kullanılan bilgileri kullandığını fark etmez bile, temel toplama ve eşitlik kavramlarını kullandığını düşünmez.’ Pazarda alışveriş yaparken, arsasını ölçerken, borsaya bakıp hissesinin değerinin artış miktarını hesaplarken, kişi bilinçli bir şekilde matematik yapmakta, matematik becerilerini ve bilgilerini kullanmaktadır. 

 

 


Hızla gelişen ve değişen dünyamızda, genellikle öğrencilere sıkıcı,

sevilmeyen ve soyut,

(öğrenci diliyle zor, kabus,…)

bir disiplin olarak görülen Matematiğin yeri ve önemi giderek artmaktadır.

Matematik Terimleri Sözlüğü’nde Matematik;

“biçim, sayı ve çoklukların yapılarını,

özelliklerini ve aralarındaki ilişkilerini us bilim yoluyla inceleyen ve sayı bilgisi,

cebir,

uzay bilim gibi dallara ayrılan bilim”

olarak tanımlanmaktadır. Ancak “Matematik nedir?”

sorusunu tek bir tanımla tam olarak yanıtlamak oldukça güçtür.

Matematiğin ne olduğunu, onun özelliklerini ve öğelerini belirterek

daha iyi açıklamak mümkündür.

Matematiğin öğeleri ise,

mantık,

sezgi,

çözümleme,

yapı kurma,

genellik,

bireysellik ve estetikten

oluşur.

Bu özellik ve öğelere dayalı olarak şunu belirtebiliriz.

Matematik, yeni bilgilerin elde edilmesi, elde edilen bilgilerin açıklanması,

denetlenmesi ve sonraki kuşaklara aktarılmasında

yer ve zamana bağlı olmayan güvenilir bir araçtır.

Bir Düşünce biçimi ve evrensel bir dil olan matematik

günümüzün gelişen dünyasında birey, toplum, bilim ve teknoloji için vazgeçilmez bir alandır.

Günlük yaşamda,

iş ve meslekte gerekli olan çözümleyebilme,

usavurabilme,iletişim kurabilme,

genelleştirme yapabilme,

yaratıcı ve bağımsız düşünebilme gibi üst düzey davranışları geliştiren bir alan olarak

matematiğin öğrenilmesi kaçınılmazdır.

Günümüz toplumunun, sorunların üstesinden gelebilecek,

problem çözebilecek bireylere gereksinmesi vardır.

Matematik öğretiminin her aşamasında matematik öğretiminin amaçları ve öğretimde

kullanılacak genel ilkeler göz önünde bulundurulmalıdır.

matematik her biri üzerine kurularak gelişen bir alan olduğundan,

ön öğrenmelerin önemi büyüktür.

Bu durum her zaman hatırlanmalı ve her aşamada ölçme ve değerlendirme yapılmalıdır.

Ayrıca, matematik öğretiminde duyuşsal özellikler

dikkate alınmalı ve öğrencilerin matematiğe ve matematik dersine karşı olumlu tutumlar

geliştirmelerine yardımcı olunmalıdır.

Planlı öğretimin tüm ilkelerine matematik öğretiminde de uyulmalıdır.


Matematiğin Özellikleri

• Matematik bir disiplindir.

• Matematik bir bilgi alanıdır.

• Matematik, bir iletişim aracıdır.Çünkü kendine özgü bir dili vardır.

• Matematik, ardışık ve yığmalıdır, birbiri üzerine kurulur.

• Matematik, varlıkların kendileriyle değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenir.

• Matematik, bir çok bilim dalının kullandığı bir araçtır.

• Matematik, insan yapısı ve insan beyninin yarattığı bir soyutlamadır.

• Matematik, bir düşünce biçimidir.

• Matematik, mantıksal bir sistemdir.

• Matematik, matematikçilerin oynadığı bir oyundur.

• Matematik, bir cevizdir.

Nasıl cevizi yemek için kırmak gerekiyorsa,

matematiği anlamak için de içine girmek gerekir.

• Matematik, bir anahtardır.

• Matematik, bir değerdir.

• Matematik;

dil, ırk, din ve ülke tanımadan uygarlıklara zenginleşerek geçen sağlam,

kullanışlı evrensel bir dil, bir ekindir.

Birey için, toplum için, bilim için, teknoloji için vazgeçilmez değerdedir.

Yayılma alanına ve derinliğine sınır konamayan bir bilimdir, bir sanattır.

• Matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir.

Evrenselliği onun gücüdür.

Çağları aşarak bize ulaşmıştır.

Çağları aşarak, yeni kuşaklara ulaşacaktır.

Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek;

her zaman taptaze ve doğru kalacaktır.

• Matematik, insanın düşünce sistemini düzenler.

• Matematik, insanın doğru düşünmesini, analiz ve sentez yapabilmesini sağlar.

• Matematik, doğruyu,

gerçeği görmek,

iyi düşünmek,

sonuca giderek kazanmak,

yani rahat bir hayat geçirmek demektir

ve

hayatımızda devamlı olarak mevcuttur.

Kısaca Matematik bir Yaşam biçimidir.

Matematiğin kendi değeri yanında,

fizik,

kimya

ve

dolayısıyla mühendislik ve askerlik gibi pratik alanlara ve bilhassa son zamanlarda

biyoloji,

ekonomi ve hatta sosyal bilimlere yardımı hızla arttığından,

bu bilim her millet için hayati bir önem kazanmıştır.

Birinci Grup Matematikçiler

  • Thales (M.Ö. 624-547),
  • Pisagor (M.Ö. 569-500),
  • Zeno (M.Ö. 495-435),
  • Eudexus(M.Ö. 408-355),
  • Öklid (M.Ö. 330?-275?),
  • Arşimed (M.Ö. 287-212),
  • Apollonius (M.Ö. 260?-200?),
  • Hipparc-hos (M.Ö. 160-125),
  • Menaleas (doğumu, M.Ö. 80)
  • İskenderiyeli Heron (? -M.S.80) ,
  • Batlamyos (85- 165) ve Diophantos (325-400)

 

İkinci Grup Matematikçiler Kimlerdir

  • Johann Müler (1436-1476),
  • Cardano (1501-1596),
  • Descartes (1596. 1650),
  • Fermat (1601-1665),
  • Pascal (1623-1662),
  • Newton (1642-1727),
  • Leibniz (1646-1716),
  • Leibniz (1646-1716),
  • Mac Loren (1698-1748),
  •  
  • Bernoulliler
  • Bu aileden sekiz ünlü matematikçi vardır.
  •  
  • Bunlar;
  • Jean Ber-noulli l667-1748,
  • Jacques Bernoulli 1654-1705,
  • Daniel Bernoulli 1700-1782
  •  
  • Euler (1707-1783),
  • Gespard Monge (1746-1818),
  • Lagrance (1776-1813),
  • Joseph Fou-rier (1768-1830),
  • Poncolet (1788-1867),
  • Gauss (1777-1855),
  • Cauchy (1789-1857),
  • Lobaçevski(1793-1856),
  • Abel (1802-1829),
  • BooIe (1815-1864),
  • Riemann (1826-1866),
  • Dedekind (1831-1916),
  • H. Poincare (1854-1912)
  • Cantor (1845-1918) 

 

 

  

BUNLARI  BİLİYORMUYDUNUZ  ?

“+” ve “-” işaretleri nereden geldi?


”+” işareti Latin “et = ve, ekle” kelimesinden geliyor. Bu iki işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya sandıkların ağırlıklarının fazla veya az olduklarını göstermek için kullanılırdı. 40 sene içinde muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı.

“=” işaretini kim keşfetti?


1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti.

 


Mükemmel sayı nedir?


Kendisi hariç, çarpanlarının toplamına eşit olan sayıya mükemmel sayı denir.

Örnek:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

 


Asal sayılar:


Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, … gibi.


1 niçin asal değildir?

 

1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte kabul edilmez.


Asal çarpan:
Bir sayının asal sayı çarpanı.

 

Bir sayının 0. kuvveti niye 1′dir de sıfır veya başka herhangi bir sayı değildir?


Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur. Yani,
20 = 1
21 = 2 = 2 x 1
22= 4 = 2 x 2
23 = 8 = 2 x 4
24= 16 = 2 x 8 …

 

1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır.

1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3

 

Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan’dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan sayısı denir.

 

İnsan saç telinin kalınlığının santimetrenin 3/400 u kadar olduğu tahmin ediliyor. Yani, 133 saç telini yan yana koyarsanız 1 cm olur.

 

 

Şimdi de pisagor teoremini kanıtlayan Pythogoras hakkında bir öykü.

 

Pytho bir gün bir demirci dükkanının önünden geçiyordu. Örse vuran çekiçlerin çıkardıkları ahenkli sesler ilgisini çekti ve durup dinlemeye başladı.

5 demirci çalışıyordu ve her birinde farklı büyüklüklerde çekiç vardı. Pytho çekiçlerden düzenli olarak çıkan seslerin bir müzik parçasına benzediğini duyup hayret etti. Dinledikçe fark etti ki, her çekicin ağırlığının farklı olması, örse vurduklarında değişik notalardan ses vermesini sağlıyordu. Çekiç ne kadar ağırsa nota o kadar düşüktü.

Sonra bir çekicin seslerin ahengini bozduğunu fark etti. Demircilerden çekiçleriyle bir deneme yapmak için izin istedi. Demirciler kabul etti.

Her çekici dikkatle tarttı. Ahengi bozan çekicin basit bir sayı düzenine uymayan ağırlığa sahip olduğunu buldu. (Diğer çekiçlerin ağırlıkları, bir sayı dizisi oluşturacak şekildeydi.) İncelemelerine devam ettikçe, farklı büyüklüklerdeki çekiçlerle bir müzik skalasını nasıl oluşturabileceğini öğrendi.

Bu, bir matematikçi tarafından müzikte yapılan en büyük ve en eski keşiflerden biriydi.

 

Roma Rakamları

 

Romalılar, sayıları yazmakta bir takım harfler kullanırlardı.

I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000

Bugün de zaman zaman kullanılan bu harfler, yan yana getirilerek daha büyük sayılar oluşturulabilir. Mesala “35″,”XXXV” şeklinde yazılır.

Bu sayılar yazılırken bazı uyulması gereken kurallarda vardır.

1- Bir harf, en fazla üç defa yan yana yazılabilir.

2- Bir harfin sağına, kendisinden daha küçük değerli bir harf gelirse, toplanarak okunur. XII=11 , DCX=610 , LXXVII= 77 gibi.

3-Sol tarafa yazıldığında ise çıkarılır. XC=90, IL=49, CD=400 gibi. Sadece bir harf yazılabilir.

4- Hem sağa, hem de sola daha küçük değerli harfler yazılarak farklı rakamlar yazılabilir. CMLI=951, XLVII=47, CDLV=455 gibi.

5- Roma rakamı ile yazılabilecek en büyük ve en uzun sayı “3888″ dir.(MMMDCCCLXXXVIII)

6- Çok sık olmamakla beraber daha büyük sayılara ihtiyaç hissettiklerinde harflerin değerini “1000″ kat arttırmak için üzerlerine çizgi çizmişlerdir.

üzerine ben çizgi koyamadım ama üzerinde çizgi varmış gibi düşünürseniz;

V=5000
X=10000
L=50000
C=100000
D=500000
M=1000000

 

Dört işlem yapma zorluğu sebebi ile günümüzde fazla kullanılmamaktadır. Bazı usuller geliştirilse de çok büyük sayılara sıra gelince yetersiz kalmaktadır. Ancak yine de bazı kitap sayfalarını numaralandırma, madde işaretleri, saatler gibi kullanım alanları vardır.

 

9 üzeri 9 üzeri 9

 

9′un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani, sadece üç rakamla ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse hesaplayamadı. (Denemek ister misiniz?) Bu 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

 

 

 

 

Cevap: 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

 

1′den 10 milyara kadar olan sayılar içinde asal olan 664580 sayıyı içeren tablolar yapılmıştır. Bilinen en büyük asal sayı 2127 – 1′dir. Bu sayı 39 basamaklıdır.

 

Saniyede bir sayı

 

Saniyede bir sayı söyleyerek ve günde 7 saat sayarak 1 milyara kadar saymak isteseydik, bunu ne kadar zamanda yapabilirdik?

 

Cevap:sene.

 

Googol nedir?

 

1 den sonra 100 sıfır yazılarak elde edilen sayıya bu ad verilmiştir (yani, 10^100). Şimdiye kadar isimlendirilen en büyük sayılardan biridir. Googolplex googoldan da büyük bir sayıdır. Bir googolplex 1 den sonra bir googol sıfır yazılarak elde edilen sayıdır. Bu sayıyı yazmak için Dünya-Ay arası uzaklığın yetmeyeceğini iddia edenler var.

 

Çok büyük sayıların okunuşu

21323412312334523412345623423467812312345612345678912345678812345

67781234567789123456788

Yukarıdaki büyük sayının okunuşu;

 


“iki oktovigintilyon yüz otuz iki septenvigintilyonüç yüz kırk bir sexvigintilyon iki yüz otuz birkenvigintilyon iki yüz otuz üçkattuorvigintilyon dört yüz elli iki trevigintilyonüç yüz kırk bir dovigintilyon ikiyüz otuz dört unvigintilyon beş yüz altmış ikivigintilyonüç yüz kırk iki novemdesilyonüç yüz kırk altı oktodesilyon yedi yüz seksen bir septendesilyon iki yüz otuz birsexdesilyon iki yüz otuz dört kendesilyonbeş yüz altmış bir kattuordesilyon ikiyüz otuz dört tredesilyon beş yüz altmışyedi dodesilyonsekiz yüz doksan birundesilyon iki yüz otuz dört desilyon beş yüz altmışyedi nonilyon sekiz yüzseksen bir oktilyon iki yüz otuz dört septilyonbeş yüz altmış yedi seksilyon yediyüz seksen bir kentilyon iki yüz otuz dörtkatrilyonbeş yüz altmış yedi trilyonyedi yüz seksen dokuz milyar yüz yirmi üç milyon dört yüz elli altı bin yedi yüz seksen sekiz”dir

 

DAHA BÜYÜK SAYILAR NASIL ADLANDIRILIR?

10^0. Bir (1)
10^3. Bin (1.000)
10^6. Milyon (1.000.000)
10^9. Milyar (1.000.000.000)

10^15. Katrilyon
10^18. Kentilyon
10^21 Seksilyon
10^24. Septilyon
10^27. Oktilyon
10^30. Nonilyon
10^33. Desilyon
10^36 . Undesilyon
10^39 . Dodesilyon
10^42 . Tredesilyon
10^45 . Kattuordesilyon
10^48 . Kendesilyon
10^51 . Sexdesilyon
10^54 . Septendesilyon
10^57 . Oktodesilyon
10^60 . Novemdesilyon
10^63 . Vigintilyon
10^66 . Unvigintilyon
10^69 . Dovigintilyon
10^72 . Trevigintilyon
10^75 . Kattuorvigintilyon
10^78 . Kenvigintilyon
10^81 . Sexvigintilyon
10^84 . Septenvigintilyon
10^87 . Oktovigintilyon
10^90 . Novemvigintilyon
10^93 . Trigintilyon
10^96 . Untrigintilyon
10^99 . Dotrigintilyon
10^102 . Tretrigintilyon
10^105 . Kattuortrigintilyon
10^108 . Kentrigintilyon
10^111 . Sextrigintilyon
10^114 . Septentrigintilyon
10^117 . Oktotrigintilyon
10^120 . Novemtrigintilyon
10^123 . Katragintilyon
10^126 . Unkatragintilyon
10^129 . Dokatragintilyon
10^132. Trekatragintilyon
10^135. Kattuorkatragintilyon
10^138. Kenkatragintilyon
10^141. Sexkatragintilyon
10^144. Septenkatragintilyon
10^147. Oktokatragintilyon
10^150. Novemkatragintilyon
10^153. Kenquagintilyon
10^156. Unkenquagintilyon
10^159. Dokenquagintilyon
10^162. Trekenquagintilyon
10^165. Kattuorkenquagintilyon
10^168. Kenkenquagintilyon

Not: 10^3 on üzeri 3 demektir.

 

Pİ SAYISI

Kısaca bir dairenin çevresinin çapına oranı, pi sayısını verir.

İnsanoğlu, aslında çok önemli vazifeleri olan bu sayı üzerinde çok düşünmüştür.

Yıllarca tam olarak bir değer bulamamakla beraber,

gerçek değerine en yakın sonuçları kullanabilmek için çaba sarf etmişlerdir.
 

Pi’ nin kronolojik gelişimine baktığımızda günümüzde dahi tam bir sonuç bulunamamıştır.

Çeşitli formüller üretilmesine rağmen sadece her seferinde gerçek değere biraz daha yaklaşılmıştır.

Arşimet 3.1/7 ile 3.10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı.

Mısırlılar 3.1605,

Babilliler 3.1/8,

Batlamyus 3.14166 olarak kullandı.

İtalyan Lazzarini 3.1415929,

Fibonacci ise 3.141818

ile işlem yapıyordu.

18.yyda 140, 19yyda 500 basamağa kadar hesaplandı.

İlk bilgisayarlarla 2035 basamağı hesaplanırken günümüzde milyonlarca basamağa kadar çıkılıyor.

İşin ilginç tarafı, hâlâ tam bir sonuç yok.

Herhangi bir yerinde devir olsa iş yine kolaylaşacak. Ama henüz öyle bir şeye de rastlanmadı

 

Brahminlerin (Hindistan’da rahipler kastı) sahip oldukları bilgileri diğer

kastlardaki kardeşlerinden ve feodal beylerden saklı tutma endişeleri onları

Sutralar diye bilinen gizli kodları kullanmaya itmiştir.

Aşağıdaki ilahi (Sanskrit) kodlanmış bir matematik bilgisidir:

 

GOPI

BHAGYAMADUV

RATA SHRINGISHODADI SANDIGA,

KALA JEEVITARAVA TAVA GALADDHALARA SANGARA

nedir?

 

Bu ilahi Tanrı Krishna’ya övgü olarak söylenir.

Ondaki gizli anlamı çıkarmak kolay değildir.

Fakat kodu çözülünce pi sayısını virgülden sonra 30 basamağa kadar verir.

 

 

MOBİUS ŞERİDİ



“Dikdörtgen bir kağıt şeridi alıp bir ucundan tutup

180 derece çevirip,

şeridin diğer ucuna yapıştırılınca ortaya çıkan şekle Moebius Şeridi denir .”

Moebious şeridi kendisi ilk tek yüzlü bir şekil olup A.F.Moebius (1790-1860) tarafından bulunmuştur.

Fakat bulunur bulunmaz meşhur olamamıştır,

meşhur olması bir matematikçi ve sanat adamı olan M.C.Escher (1898-1972) sayesinde gerçekleşmiştir.

 

Kriptografi nedir?

 

Teknoloji geliştikçe iletişim yöntemleri de gelişti.

Daha önceleri bir bilgiyi ne olursa olsun bir yere ulaştırmak hayati öneme haizken,

şimdilerde artık bilgi öyle ya da böyle ulaştırılmak istenen noktaya ulaştırılıyor.

Peki bu yeterli mi?
 

Dünyanın yaradılışından beri süre gelen en büyük mücadele bilgi mücadelesidir.

Nasıl avlanmasını bilenlerin karnı doymuş,

nasıl savaşmasını bilenler kazanmış, nasıl üretmesini bilenler büyümüştür.

Daha fazla bilgiye sahip olanlar daima daha büyük ilerleme kaydetmiş ve daha çok söz sahibi olmuştur.

Hal böyle olunca, insanların kafasını önemli bir soru meşgul etmiştir;

“Daha fazla bilgiye nasıl ulaşırız?”

. Tabiki bu önemli soru geçmişte de pek çok insan tarafından sorulmuş ve karşılığında

bilimin ve teknolojinin gelişmesine katkıda bulunulmuştur,

ancak bu sefer daha büyük gruplar tarafından,

daha çok maddi destek ve kimi zaman ise bir devlet politikası olarak görülüp,

bu sorunun derinine ulaşılmaya çalışılmıştır.

Zaman ilerledikçe, bir şekilde bilgiye ulaşan gruplar,

ülkeler ya da topluluklar için bu yeterli olmamaya başlamıştır.

Çünkü ortada mide bulandırıcı bir durum vardır;

“Acaba ulaştığımız bilgiler yeterli mi?”

. Bu sorunun cevabı aslında bir anlamda başkalarının da nekadar bildiğini anlayabilmekte gizli.

Tam da bu noktada, artık bilginin ulaştırılmasından da çok,

yanlızca istenilen noktaya ulaşması, istenmeyen ellerden korunması daha önem kazanmıştır.

Böyle bir güvenliğin sağlanması hiç bir zaman kolay olmamıştır.

Bunun için kimi zaman bayanların cazibesi,

kimi zaman en kahraman askerler kullanılmış ve bilginin

farklı eller deymeksizin istenilen noktaya ulaştırılması sağlanmaya çalışılmıştır.

Gelişen teknoloji, internet ve bilgisayarların ciddi gelişimleri ile birlikte günümüzde

bunu yapmak çok daha fazla zorlaşmıştır.

Bu nedenle bilgisayar ve bilgisayar ağlarında;

şifreleme ve deşifreleme teknikleri yani kriptografi kullanılmaya başlanmıştır.


Kriptografi

temelde bazı ana konulara yönelir.

Bu alanlardan birincisi gizliliktir.

Bilgi kesinlikle istenmeyen kişilerin eline geçememelidir.

Bir diğeri ise bütünlüktür.

Gönderilen bilgi bir bütün halinde olmalıdır,

davetsiz misafirler doğru bilgiyi yanlış bir bilgi ile değiştirme imkanına sahip olmamalıdırlar.

Bilgi gönderen ya da hazırlayan daha sonra,

bunu kendisinin gönderdiğini rededememelidir.

Son olarak gönderen ve alıcı birbirlerinin kimliklerini doğrulayabilmelidirler.

Davetsiz bir misafir başka birinin kimliğine bürünememelidir.


Şifrelenmiş bir veri şifrelimetindir. Bu metni geri çevirme durumuna ise şifre çözümü denir.

İşte bu verilerin güvenliğini sağlayanlara kriptograf, bu bilime ise kriptografi denir.

Bunun yanı sıra, şifrelerin analiz edilmesi ve şifre biliminide kapsayan bir matematik dalı vardır ki

bu da kriptolojidir.
 

Veri Şifreleme yaparken Açık ve Gizli olmak kaydı ile iki tür sistem kullanılır.

Açık Anahtarlı sistemler kullanılarak yapılan veri şifrelemelerinde,

her kişinin açık ve gizli olarak anahtarlara sahip olması gerekir.

Gizli anahtarlar sadece sahibinin ulaşabileceği şekilde saklanmalıdır.

Aksi takdirde şifrelemenin bir anlamı kalmaz çünkü açık anahtar herkesin ulaşabileceği pozisyondadır.

Dolayısı ile tabiki bu iki şifre arasında matematiksel bir bağ olması gerekir.

Bu anahtarların ve bağın oluşturulmasında, çok ciddi matematik problemleri kullanıldığından,

açık anahtara ulaşan herhangi birinin gizli anahtarı ele geçirmesinin imkansız olduğu düşünülür.

Bu tarz sistemler sadece metin alışverişlerinde kullanılmaz.

Sayısal imza uygulamalarında,

kimlik denetiminde, banka güvenliğinin sağlanmasında,

internet üzerinde yapılan alışverişlerde ve daha pek çok yerde kullanılır.


Açık Anahtarlı sistemler temelde şu şekilde işler;

İki kişi vardır, birer açık ve birer gizli anahtarları vardır.

Birbirlerine gönderecekleri mesajı, açık anahtarları ile şifrelerler,

fakat gelen mesajları deşifre etmek için sadece kendilerinde bulunan gizli anahtarları kullanırlar.

Örneğin internet üzerinden bir alışveriş yapmak istediğimizde,

herkes şirketin açık anahtarını kullanarak kredi kartlarını şifrelerler,

ancak gizli anahtarı sadece şirket bildiği için, dışardan gelen dinlemelere karşı güvenlidir.


Burada eğer açık ile gizli anahtar birbirlerine eşitse, sistem simetrik olarak adlandırılır.

Aksi durumlarında sistem asimetriktir.

Bu açıdan güveliğin herzaman kontrol altında olabilmesi için

gizli anahtar daima istenilen kişinin ulaşabileceği bir noktada olmalıdır.


Daha öncede vurguladığım gibi açık anahtarlı sistemlerde karmaşık ve çözülememiş

matematiksel problemler kullanılır.

Bu nedendendir ki, simetrik sistemlere göre daha yavaştırlar.

Dolayısı ile bu sistemlerde anahtar boyutları da yine simetrik sistemlerdeki anahtar boyutlarından daha büyüktür.


Algoritmalardaki bütün güvenlik tamamen anahtara bağlıdır.

Herhangi birinin algoritmanızı bilmesi bir şeyi değiştirmez.

Anahtarınızı bilmediği sürece, algoritmanızı incelemesi, bir güvenlik açığı oluşturmaz.

Dolayısı ile bir sisteme yapılan saldırılar, tamamen o sistemin anahtarının bulunmasına yöneliktir.

Bunun içinse, çeşitli saldırı yöntemleri kullanılır.

Seçilmiş Açık Metin Saldırısı, Sadece Şifreli Metin Saldırısı,

Bilinen Açık Metin Saldırısı, vs.
Yukarıdaki bilgiler, kimimiz için yararlı olabilirken, kimimiz için yetersiz olabilir.

Bu durum içine affınıza sığınırım.

Amacım kriptografi hakkında genel bir bilgi verip,

ilgi duyan ve türkçe kaynak sıkıntısı çekenlerimize,

en azından temel anlamda bir şeyler oturtması için yardımda bulunmaktır.

Umarım en az bir kişi için bir faydası olmuştur.

 

 

Kaos Teorisi

Kaos teorisi, sayısal bilgisayarların ve onların çıktılarını çok kolay görülebilir hale getiren

ekranların ortaya çıkmasıyla gelişti ve son on yıl içinde popülerlik kazandı.

Ancak kaotik davranış gösteren sistemlerde kestirim yapmanın imkansızlığı bu popüler görüntüyle birleşince,

bilim adamları konuya oldukça kuşkucu bir gözle bakmaya başladılar.

Fakat son yıllarda kaos teorisinin ve onun bir uzantısı olan fraktal geometrinin,

borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba,

kimyadan mekaniğe kadar uzanan çok farklı dallarda önemli kullanım alanları bulması ile

bu kuşkular giderek yok olmaktadır.


Teoriye temel oluşturan matematiksel ve temel bilimsel bulgular,

18.yüzyıla, hatta bazı gözlemler antik çağlara kadar geri gidiyor.

Yunan ve Çin mitolojilerinde yaradılış efsanelerinde başlangıçta bir kaosun olması rastlantı değil.

Özellikle Çin mitolojisindeki kaosun,

bugün bilimsel dilde tanımladığımız olgularla hayret verici bir benzerliği olduğunu görüyoruz.

Batı’da da daha sonraki dönemlerde bilim adamları tarafından karmaşık olgulara dair gözlemler yapılmıştır.

Poincare, Weierstrass, von Koch, Cantor, Peano, Hausdorff, Besikoviç

gibi çok üst düzey matematikçiler tarafından bu teorinin temel kavramları oluşturulmuştur.


Karmaşık sistem teorisinin ardında yatan yaklaşımı felsefe,

özellikle de bilim felsefesi açısından inceleyecek olursak, ortaya ilginç bir olgu çıkıyor.

Aslında bugün pozitif bilim olarak nitelendirdiğimiz şey, batı uygarlığının ve düşünüş biçiminin bir ürünüdür.

Bu yaklaşımın en belirgin özelliği, analitik oluşu yani parçadan tüme yönelmesi (tümevarım).


Genelde karmaşık problemleri çözmede kullanılan ve bazen çok iyi sonuçlar veren bu yöntem gereğince,

önce problem parçalanıyor ve ortaya çıkan daha basit alt problemler inceleniyor.

Sonra, bu alt problemlerin çözümleri birleştirilerek, tüm problemin çözümü oluşturuluyor.

Ancak bu yaklaşım görmezden gelerek ihmal ettiği parçalar arasındaki ilişkilerdir.

Böyle bir sistem parçalandığında, bu ilişkiler yok oluyor ve parçaların tek tek çözümlerinin toplamı,

asıl sistemin davranışını vermekten çok uzak olabiliyor.
 

Tümevarım yaklaşımının tam tersi ise tümdengelim,

yani bütüne bakarak daha alt olgular hakkında çıkarsamalar yapmak.

Genel anlamda tümevarımı

Batı düşüncesinin, tümdengelim i

Doğu düşüncesinin ürünü olarak nitelendirmek mümkündür.

Kaos yada karmaşıklık teorisi ise, bu anlamda bir Doğu-Batı sentezi olarak görülebilir.

Çok yakın zamana kadar pozitif bilimlerin ilgilendiği alanlar doğrusallığın geçerli olduğu,

daha doğrusu çok büyük hatalara yol açmadan varsayılabildiği alanlardır.

Doğrusal bir sistemin girdisini x,

çıktısını da y kabul edersek,

x ile y arasında doğrusal sistemlere özgü şu ilişkiler olacaktır:

Bu özellikleri sağlayan sistemlere verilen karmaşık bir girdiyi parçalara ayırıp

her birine karşılık gelen çıktıyı bulabilir,

sonra bu çıktıların hepsini toplayarak karmaşık girdinin yanıtını elde edebiliriz. Ayrıca,

doğrusal bir sistemin girdisini ölçerken yapacağımız ufak bir hata,

çıktının hesabında da başlangıçtaki ölçüm hatasına orantılı bir hata verecektir.

Halbuki doğrusal olmayan bir sistemde

y’yi kestirmeye çalıştığımızda ortaya çıkacak hata,

x’in ölçümündeki ufak hata ile orantılı olmayacak,

çok daha ciddi sapma ve yanılmalara yol açacaktır.

İşte bu özelliklerinden dolayı doğrusal olmayan sistemler kaotik davranma potansiyelini içlerinde taşırlar.


Kaos görüşünün getirdiği en önemli değişikliklerden biri ise,

kestirilemez determinizmdir

Sistemin yapısını ne kadar iyi modellersek modelleyelim,

bir hata bile (Heisenberg belirsizlik kuralı’na göre çok ufak da olsa,

mutlaka bir hata olacaktır), yapacağımız kestirmede tamamen yanlış sonuçlara yol açacaktır.

Buna başlangıç koşullarına duyarlılık adı verilir ve bu özellikten dolayı sistem tamamen nedensel olarak çalıştığı

halde uzun vadeli doğru bir kestirim mümkün olmaz.

Bugünkü değerleri ne kadar iyi ölçersek ölçelim,

30 gün sonra saat 12′de hava sıcaklığının ne olacağını kestiremeyiz.

Bu görüş paralelinde ortaya konan en ünlü örnek ise Kelebek Etkisi denen modellemedir.

Bu modelleme, en basit haliyle şu iddiayı taşır : “Çin de kanat çırpan bir kelebek ABD de bir fırtınaya neden olabilir”.

 

Kelebek Etkisi

 

Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin,

büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir.

İsmi, Edward N. Lorenz’in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor:

Amazon Ormanları’nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa’da fırtına kopmasına sebep olabilir.


Kelebek Etkisi’ni 1963 yılında Edward N. Lorenz bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu.

İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı.

İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi.

İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir),

yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarla eşdeğerde fark olmasına rağmen,

süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi.


Not: Lorenz’in 1963 de yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının,

hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir.

Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi.

Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı

rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum,

bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır.

Aşağıdaki resim,

Lorenz differensiyal denkelerinin

AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirne karşı çizilmesi ile elde edilmiştir.

Bu sonuç bir çok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir

 

 

Şifrelemenin Tarihi

 

Heredot’un anlattıklarına göre eski Yunan’da şifreli bir mesaj gönderilmek istendiğinde,

kölelerin kafa derisi üzerinde mesajlar aktarılmaktaydı.

Önce bir kölenin kafası traş edilir,

daha sonra da ilgili mesaj kafasına kazınır ve saçlarının uzaması beklenirdi.

Birkaç ay sonra da köle, hedefine doğru yola çıkar ve gittiği yerde tekrar kafası traş edilerek mesaj okunurdu.


Artık ne kölelerimiz ne de aylar boyu bekleyecek zamanımız var.

Ayrıca pek zarif bir fikir olmayan bu yöntem yerine gelişen zaman içerisinde pek çok yeni yöntem keşfedilmiştir.

Örneğin Roma imparatoru Julius Sezar generallerine gönderdiği mesajların okunmaması için

üç yana kaydırma mantığını kullanan bir şifreleme yöntemi geliştirmiştir.

Sezar, mesajlarındaki yazılarda,

örneğin “A” harfi yerine “D”, “B” harfi yerine “E” kullanmaktaydı.

Oldukça basit ve hedefine ulaşan bu yöntem o çağın şartları için yeterli olmuştur.


Gelişen zaman içerisinde değişen şifreleme yöntemleri birbirini izlemiş,

kimi zaman çözülen bir şifre imparatorlukların kaderini değiştirmiştir.

Örneğin 1587 yılında İngiliz Kraliçesini devirmek için adamlarıyla haberleşmede kullandığı

basit değiştirme yöntemi çözülen İskoçya Kraliçesi,

bu hatasını idam edilerek ödemiştir.
1. Dünya savaşında Almanların çözmemesi için b

ir Amerikan Telefon ve Telgraf şirketinden bir çalışan olan Gilbert Vernam tarafından hazırlanan

“bir kerelik bloknot”

yöntemi, savaş boyunca Amerika Birleşik Devletleri’nin mesaj güvenliğini sağlamıştır.

Bu sistemde şifrelenecek metin ASCII kodundaki karakterlere dönüştürülür

ve bir kez şifreyi çözmede kullanılacak gizli anahtar, mesajı okuyan kişi tarafından imha edilirdi.

Böylece tek seferlik mesajlaşmalar güvenli bir iletişimi oluştururdu.


2. Dünya savaşında ise filmlere konu olan Enigma makinesi Almanların en güvendiği şifreleme tekniğiydi,

ta ki; Ruslara esir düşen bir Alman savaş gemisinde ele geçirilen

Enigma makinesinin İngilizlere şifre kırıcılar tarafından çözülmesi,

savaşın kaderini değiştirmiştir.

Almanların tüm haberleşmesini dinleyen İngilizler, bu bilgi ile uzun süre

Almanların ne yapacaklarını erkenden öğrenip ona göre taktik hazırlama şansına sahip olmuşlardır.


Enigma makinesi temel olarak; klavyesinden girilen

karakterlerin makine içerisinde birbiri ile değişik şekillerde algoritma oluşturacak şekillerde yazıları

kodlayan üç adet diskten oluşmaktaydı.

Enigma’daki diskler Almanlar tarafından önce 5’e ve daha sonra da 8’e çıkarılmıştır.

Ancak büün bu tedbirler İngilizlerin ilk bilgisayarların atalarından olan,

IBM bilgisayar sistemi ile kodları çözmesini engelleyemedi.


Enigma’nın şifresinin çözülmesi ile bilgisayarları yakınlaştıran bu süreç,

sonraki zamanlarda bilgisayarların şifreleme işlemlerinde

daha çok kullanılması ve günümüzde de vazgeçilmez bir parçası olma durumunu getirmiştir.


Günümüz bilgisayar destekli şifreleme teknikleri oldukça,

yüksek bilgi gerektiren karmaşık güvenlik önlemleriyle yoğrulmuş teknikler içerir.

Her biri bir öncekinden daha güvenli olduğunu iddia ederken,

her geçen gün bir öncekinin nasıl şifresinin nasıl kırıldığına şahit olmaktayız.

Dolayısıyla öğrendiğimiz temel yöntem teorik olarak

hiç  bir şifreleme yönteminin kırılamaz olmadığı ve sonlu bir süre sonunda şifresinin çözüleceğidir.

Belki 1 ay belki 1000 ay sonra ama mutlaka tüm şifrelerin

çözülebileceği unutulmaması daima tavsiye olunmakta.


Bu yazıda bu şifreleme yöntemlerinden biz kullanıcılar için en etkili kullanılacak alan olan evimizdeki,

işyerimizdeki dosya ve klasörlerimizin şifrelenerek korunmasıyla ilgili yazılımlardır.

Her birimizin basit ve kullanışlı bir teknikle, şüpheli gözlerden saklanmasını

isteyeceğimiz dokümanlar bulunabilir.

Örneğin işyerindeki bir satış raporu, veya sevgilimize yazdığımız bir şiirin,

bilgisayarımızı kullanan diğer kişilerce görünmesini istememek en doğal hakkımız!


Yalnız dikkat edilmesi gereken en temel nokta, hangi programı kullanırsak kullanalım,

şifrelemekte kullandığımız bir parola mutlaka olacaktır.

Bu parolayı asla unutmamalı ve başkalarının görebileceği ortalık bir yerde bulundurmamalıyız.

Yoksa bütün bu karmaşık matematiksel formüllere dayanan şifreleme mantığının temelinde yatan

“insan”

faktörü devreye girer ve şifremiz çözülür!

 

Klasik Şifreleme Teknikleri

Tarih içerisinde değişik teknikler kullanılarak şifreli mesajlar iletilmeye çalışılmıştır.

Bir dönem uygulanan kölelerin kafasına kazılan yazılarla mesajlaşma haricinde,

şu teknikler de kullanılmaktaydı;
 

Harf İşaretleme: Bir yazı içerisindeki bazı karakterlerin daha derin kazılmasıyla

ancak belli bir açıdan gelecek ışıkla okunan yazılar.


Görünmez Mürekkep: Belirli bir ısıda veya kimyasal bir sıvıya batırılarak okunur hale gelen yazılar.


İğne Delikleri: Yazıdaki belirli karakterler iğne ile delinerek işaretlenmesi temeline dayanıyordu.


Sezar Tekniği: Bilinen en eski “yerine koyma“ tekniğidir.

Her harf alfabedeki kendinden üç sonraki harfin yerine konularak yazışmalar yapılmaktaydı

 

Aşkın sayı

 

 

Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir.

Diğer bir deyişle,

katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir.

Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir.

Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir,

örneğin ?2 irrasyoneldir, ancak x2 – 2 = 0 polinomunun bir köküdür.

Aşağıdaki e ve pi sayıları aşkın sayı olarak bilinir ..